Номер 3.10, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.10. Для квадратичной функции $f(x) = x^2 - 4x + 9$ найдите значения аргумента, при которых:

а) $f(x) = 9;$

б) $f(x) = 6;$

в) $f(x) = 21.$

а) Найдем значения $x$, при которых $f(x) = 9$.
Составим уравнение:
$x^2 - 4x + 9 = 9$
Перенесем 9 в левую часть, чтобы получить уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 - 4x + 9 - 9 = 0$
$x^2 - 4x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 4) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Поэтому:
$x_1 = 0$ или $x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$.
Ответ: 0; 4.

б) Найдем значения $x$, при которых $f(x) = 6$.
Составим уравнение:
$x^2 - 4x + 9 = 6$
Перенесем 6 в левую часть:
$x^2 - 4x + 9 - 6 = 0$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2}$
$x_1 = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$
(Также можно было воспользоваться теоремой Виета: $x_1 + x_2 = 4$, $x_1 \cdot x_2 = 3$, откуда $x_1=1, x_2=3$).
Ответ: 1; 3.

в) Найдем значения $x$, при которых $f(x) = 21$.
Составим уравнение:
$x^2 - 4x + 9 = 21$
Перенесем 21 в левую часть:
$x^2 - 4x + 9 - 21 = 0$
$x^2 - 4x - 12 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 8}{2}$
$x_1 = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
(По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$, $x_1 \cdot x_2 = -12$, откуда $x_1=6, x_2=-2$).
Ответ: -2; 6.