Номер 3.9, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.9. Для квадратичной функции $g(x) = -0,25x^2 + 3$ сравните:

а) $g(-2)$ и $g(4);$

б) $g(-0,5)$ и $g(0,5);$

в) $g(-2\sqrt{3})$ и $g(\sqrt{6});$

г) $g(-2\sqrt{5})$ и $g(2\sqrt{5}).$

Для решения задачи воспользуемся определением квадратичной функции $g(x) = -0,25x^2 + 3$. Для сравнения значений функции в указанных точках, мы будем подставлять соответствующие значения аргумента $x$ в формулу функции.

Вычислим значение функции в каждой точке:

$g(-2) = -0,25 \cdot (-2)^2 + 3 = -0,25 \cdot 4 + 3 = -1 + 3 = 2$.

$g(4) = -0,25 \cdot (4)^2 + 3 = -0,25 \cdot 16 + 3 = -4 + 3 = -1$.

Теперь сравним полученные результаты: $2 > -1$.

Ответ: $g(-2) > g(4)$.

Данная функция является четной, так как переменная $x$ входит в формулу только в четной степени ($x^2$). Это означает, что $g(-x) = g(x)$ для любого $x$.

Проверим: $g(-x) = -0,25(-x)^2 + 3 = -0,25x^2 + 3 = g(x)$.

Следовательно, значения функции для противоположных аргументов $-0,5$ и $0,5$ равны.

Вычислим это значение для проверки:
$g(0,5) = -0,25 \cdot (0,5)^2 + 3 = -\frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{2})^2 + 3 = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} + 3 = -\frac{1}{16} + 3 = \frac{-1 + 48}{16} = \frac{47}{16} = \mathbf{2}\frac{15}{16}$.

Ответ: $g(-0,5) = g(0,5)$.

Вычислим значение функции в каждой точке:

$g(-2\sqrt{3}) = -0,25 \cdot (-2\sqrt{3})^2 + 3 = -0,25 \cdot (4 \cdot 3) + 3 = -0,25 \cdot 12 + 3 = -3 + 3 = 0$.

$g(\sqrt{6}) = -0,25 \cdot (\sqrt{6})^2 + 3 = -0,25 \cdot 6 + 3 = -1,5 + 3 = 1,5$.

Представим десятичную дробь $1,5$ в виде смешанного числа: $1,5 = \frac{3}{2} = \mathbf{1}\frac{1}{2}$.

Сравним полученные результаты: $0 < 1,5$.

Ответ: $g(-2\sqrt{3}) < g(\sqrt{6})$.

Как и в пункте б), мы имеем дело с четной функцией, поэтому $g(-x) = g(x)$.

Аргументы $-2\sqrt{5}$ и $2\sqrt{5}$ являются противоположными числами, следовательно, значения функции в этих точках равны.

Вычислим это значение для проверки:
$g(2\sqrt{5}) = -0,25 \cdot (2\sqrt{5})^2 + 3 = -0,25 \cdot (4 \cdot 5) + 3 = -0,25 \cdot 20 + 3 = -5 + 3 = -2$.

Ответ: $g(-2\sqrt{5}) = g(2\sqrt{5})$.