Номер 3.16, страница 166 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.16. Найдите координаты вершины параболы и запишите уравнение ее оси симметрии:

а) $y = 2x^2 - 4x + 1;$

б) $y = 2x^2 + 4x;$

в) $y = -0.5x^2 - 4x + 1;$

г) $y = -x^2 + 4x - 7.$

Для нахождения координат вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, и уравнения ее оси симметрии, воспользуемся следующими формулами:

• Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$
• Ордината вершины: $y_0 = y(x_0)$ (значение функции в точке $x_0$)
• Уравнение оси симметрии: $x = x_0$

Применим эти формулы для каждого случая.

а) $y = 2x^2 - 4x + 1$

В данном уравнении коэффициенты: $a = 2$, $b = -4$, $c = 1$.
1. Находим абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
2. Находим ординату вершины, подставив $x_0 = 1$ в уравнение параболы:
$y_0 = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$.
Координаты вершины: $(1, -1)$.
Уравнение оси симметрии, проходящей через вершину: $x = 1$.
Ответ: Координаты вершины $(1, -1)$; уравнение оси симметрии $x=1$.

б) $y = 2x^2 + 4x$

Здесь коэффициенты: $a = 2$, $b = 4$, $c = 0$.
1. Находим абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -\frac{4}{4} = -1$.
2. Находим ординату вершины, подставив $x_0 = -1$ в уравнение:
$y_0 = 2(-1)^2 + 4(-1) = 2 \cdot 1 - 4 = -2$.
Координаты вершины: $(-1, -2)$.
Уравнение оси симметрии: $x = -1$.
Ответ: Координаты вершины $(-1, -2)$; уравнение оси симметрии $x=-1$.

в) $y = -0,5x^2 - 4x + 1$

Коэффициенты: $a = -0,5$, $b = -4$, $c = 1$.
1. Находим абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot (-0,5)} = -\frac{-4}{-1} = -4$.
2. Находим ординату вершины, подставив $x_0 = -4$ в уравнение:
$y_0 = -0,5(-4)^2 - 4(-4) + 1 = -0,5 \cdot 16 + 16 + 1 = -8 + 16 + 1 = 9$.
Координаты вершины: $(-4, 9)$.
Уравнение оси симметрии: $x = -4$.
Ответ: Координаты вершины $(-4, 9)$; уравнение оси симметрии $x=-4$.

г) $y = -x^2 + 4x - 7$

Коэффициенты: $a = -1$, $b = 4$, $c = -7$.
1. Находим абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$.
2. Находим ординату вершины, подставив $x_0 = 2$ в уравнение:
$y_0 = -(2)^2 + 4(2) - 7 = -4 + 8 - 7 = -3$.
Координаты вершины: $(2, -3)$.
Уравнение оси симметрии: $x = 2$.
Ответ: Координаты вершины $(2, -3)$; уравнение оси симметрии $x=2$.