Номер 3.23, страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.23. Среди квадратичных функций выберите функции, не имеющие нулей:

а) $y = (x + 1)(x - 6)$;

б) $y = x^2 + x + 3$;

в) $y = -(x - 5)^2 + 1$;

г) $y = x^2 + 4$.

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы определить, имеет ли квадратичная функция нули, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $y=0$. Если уравнение не имеет действительных корней, то функция не имеет нулей. Условием отсутствия действительных корней у квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ является отрицательное значение дискриминанта: $D = b^2 - 4ac < 0$.

Чтобы найти нули данной функции, приравняем $y$ к нулю: $(x + 1)(x - 6) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, следовательно, уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = 6$. Таким образом, данная функция имеет нули.
Ответ: функция имеет нули.

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1, b = 1, c = 3$. Для нахождения нулей решим уравнение $x^2 + x + 3 = 0$. Вычислим дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, а значит и функция не имеет нулей.
Ответ: функция не имеет нулей.

Для нахождения нулей решим уравнение $-(x - 5)^2 + 1 = 0$.$(x - 5)^2 = 1$Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два решения:$x - 5 = 1 \Rightarrow x_1 = 6$$x - 5 = -1 \Rightarrow x_2 = 4$Следовательно, функция имеет два нуля.
Ответ: функция имеет нули.

Для нахождения нулей решим уравнение $x^2 + 4 = 0$, что эквивалентно $x^2 = -4$. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных корней. Альтернативно, можно вычислить дискриминант для уравнения $x^2 + 0x + 4 = 0$ ($a=1, b=0, c=4$):$D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -16$. Поскольку $D < 0$, функция не имеет нулей.
Ответ: функция не имеет нулей.