Номер 3.30, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.30. График функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ изображен на рисунке 56. Пользуясь графиком:

а) определите $f(0)$; $f(-1)$; $f(-2)$;

б) найдите $a$; $b$ и $c$.

Рис. 56

а) определите f(0); f(-1); f(-2);

Чтобы определить значения функции по ее графику, необходимо для каждого заданного значения аргумента $x$ найти соответствующее значение ординаты $y$ на графике.

• При $x=0$ (на оси ординат), график проходит через точку $(0, 0)$. Значит, $f(0) = 0$.
• При $x=-1$, на графике находим точку, которая является вершиной параболы. Ее координаты $(-1, 1)$. Значит, $f(-1) = 1$.
• При $x=-2$, график пересекает ось абсцисс в точке $(-2, 0)$. Значит, $f(-2) = 0$.

Ответ: $f(0) = 0$, $f(-1) = 1$, $f(-2) = 0$.

б) найдите a; b и c.

Уравнение параболы имеет вид $f(x) = ax^2 + bx + c$. Для нахождения коэффициентов $a, b, c$ используем координаты трех точек с графика, найденные в пункте (а): $(0, 0)$, $(-1, 1)$ и $(-2, 0)$. Составим и решим систему уравнений.

1. Подставим координаты точки $(0, 0)$ в уравнение функции:
   $f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 0 \implies c = 0$.
2. Теперь, зная что $c=0$, подставим координаты точки $(-2, 0)$:
   $f(-2) = a(-2)^2 + b(-2) + 0 = 0$
   $4a - 2b = 0 \implies b = 2a$.
3. Подставим координаты точки $(-1, 1)$, также используя $c=0$:
   $f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + 0 = 1$
   $a - b = 1$.

Получили систему из двух уравнений для $a$ и $b$:
$\begin{cases} b = 2a \\ a - b = 1 \end{cases}$

Подставим $b = 2a$ во второе уравнение:
$a - (2a) = 1$
$-a = 1 \implies a = -1$.

Теперь найдем $b$:
$b = 2a = 2(-1) = -2$.

Таким образом, мы нашли все коэффициенты.

Ответ: $a = -1$, $b = -2$, $c = 0$.