Номер 3.31, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.31. Для того чтобы обнести изгородью прямоугольный участок для посадки овощей, было куплено 24 м сетки. Площадь участка $S$ является функцией от длины одной из его сторон $x$. Задайте эту функцию формулой. Найдите, при каком значении аргумента функция принимает наибольшее значение.

Пусть длина одной стороны прямоугольного участка равна $x$ метров, а длина смежной стороны — $y$ метров.

Периметр участка равен длине сетки, то есть 24 м. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(x + y)$.

Составим уравнение:

$2(x + y) = 24$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x + y = 12$

Чтобы выразить площадь как функцию от одной стороны $x$, выразим другую сторону $y$ через $x$:

$y = 12 - x$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = x \cdot y$. Подставим в нее полученное выражение для $y$:

$S(x) = x \cdot (12 - x)$

$S(x) = 12x - x^2$

Задайте эту функцию формулой. Ответ: $S(x) = 12x - x^2$.

Теперь необходимо найти значение аргумента $x$, при котором функция $S(x)$ принимает наибольшее значение.

Функция $S(x) = -x^2 + 12x$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -1$). Наибольшее значение такая функция достигает в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, находится по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Для нашей функции $S(x) = -x^2 + 12x$ коэффициенты равны $a = -1$ и $b = 12$.

Найдем абсциссу вершины:

$x = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = -\frac{12}{-2} = 6$

Это означает, что площадь участка будет максимальной, когда длина одной из его сторон равна 6 м. В этом случае участок будет являться квадратом со стороной 6 м.

Найдите, при каком значении аргумента функция принимает наибольшее значение. Ответ: 6.