Номер 3.36, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.36. На рисунке 59 изображены графики функций $f(x) = 3x^2 + 24x + c$ и $g(x) = -x^2 + bx - 18$. Пользуясь данными рисунка:

а) найдите числа $b$ и $c$;

б) определите общее свойство для двух парабол;

в) решите графически уравнение $f(x) = g(x)$.

Рис. 59

а) найдите числа b и c:

Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты $c$ и $b$, воспользуемся данными с графика.

1. Найдем коэффициент c для функции $f(x) = 3x^2 + 24x + c$.
График этой функции — парабола розового цвета, ветви которой направлены вверх. Для нахождения коэффициента $c$ мы можем использовать координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины параболы вида $ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_v = \frac{-b}{2a}$.
Для функции $f(x)$ абсцисса вершины равна: $x_v = \frac{-24}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$.
Из графика видно, что при $x = -4$ ордината (значение y) вершины равна $-6$. Таким образом, вершина параболы $f(x)$ находится в точке $(-4, -6)$.
Подставим координаты этой точки в уравнение функции: $f(-4) = 3(-4)^2 + 24(-4) + c = -6$
$3 \cdot 16 - 96 + c = -6$
$48 - 96 + c = -6$
$-48 + c = -6$
$c = 48 - 6$
$c = 42$

2. Найдем коэффициент b для функции $g(x) = -x^2 + bx - 18$.
График этой функции — парабола голубого цвета, ветви которой направлены вниз. Из графика видно, что вершина этой параболы находится в точке с абсциссой $x_v = -4$. Ордината вершины равна $-2$.
Используем формулу для абсциссы вершины: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-b}{2 \cdot (-1)} = \frac{b}{2}$.
Мы знаем, что $x_v = -4$, поэтому: $\frac{b}{2} = -4$
$b = -4 \cdot 2$
$b = -8$

Ответ: $b = -8$, $c = 42$.

б) определите общее свойство для двух парабол:

Вершина параболы $f(x)$ находится в точке $(-4, -6)$.
Вершина параболы $g(x)$ находится в точке $(-4, -2)$.
Обе параболы имеют одинаковую абсциссу вершины $x = -4$. Это означает, что у них общая ось симметрии.

Ответ: общим свойством для двух парабол является наличие общей оси симметрии, заданной уравнением $x = -4$.

в) решите графически уравнение f(x) = g(x):

Решить уравнение $f(x) = g(x)$ графически — значит найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$.
На рисунке 59 видно, что графики пересекаются в двух точках. Найдем их координаты по сетке:

• Первая точка пересечения имеет координаты $(-5, -3)$.
• Вторая точка пересечения имеет координаты $(-3, -3)$.

Решениями уравнения являются абсциссы этих точек.

Ответ: $x_1 = -5, x_2 = -3$.