Номер 3.41, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.41. Изобразите схематически график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если:

a) $a > 0, c > 0, D > 0, -\frac{b}{2a} < 0;$

б) $a < 0, D = 0, -\frac{b}{2a} > 0;$

в) $a > 0, D < 0, -\frac{b}{2a} < 0;$

г) $a < 0, D > 0, -\frac{b}{2a} > 0,$

где $D$ — дискриминант квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c.$

а) Проанализируем условия $a > 0, c > 0, D > 0, -\frac{b}{2a} < 0$ для функции $y = ax^2 + bx + c$:

• Условие $a > 0$ означает, что ветви параболы направлены вверх.
• Условие $c > 0$ означает, что график пересекает ось ординат (Oy) в точке $(0, c)$, то есть выше оси абсцисс.
• Условие $D > 0$, где $D = b^2 - 4ac$, означает, что парабола пересекает ось абсцисс (Ox) в двух различных точках.
• Условие $x_0 = -\frac{b}{2a} < 0$ означает, что абсцисса вершины параболы отрицательна, то есть вершина находится слева от оси Oy.

Из этих условий следует, что вершина параболы находится в III координатной четверти (координаты $x_0 < 0, y_0 < 0$), так как при ветвях вверх она должна опуститься ниже оси Ox, чтобы ее пересечь. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} < 0$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} > 0$. Это означает, что оба корня отрицательны. Ответ:

б) Проанализируем условия $a < 0, D = 0, -\frac{b}{2a} > 0$:

• Условие $a < 0$ означает, что ветви параболы направлены вниз.
• Условие $D = 0$ означает, что парабола имеет ровно одну общую точку с осью Ox, то есть касается ее. Эта точка касания является вершиной параболы, поэтому $y_0 = 0$.
• Условие $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$ означает, что вершина параболы находится справа от оси Oy.

Таким образом, вершина параболы имеет координаты $(x_0, 0)$, где $x_0 > 0$, и находится на положительной полуоси Ox. Поскольку ветви направлены вниз, вся парабола, за исключением вершины, расположена под осью Ox. Точка пересечения с осью Oy, $y(0)=c$, будет иметь отрицательную ординату. Ответ:

в) Проанализируем условия $a > 0, D < 0, -\frac{b}{2a} < 0$:

• Условие $a > 0$ означает, что ветви параболы направлены вверх.
• Условие $D < 0$ означает, что парабола не имеет общих точек с осью Ox, то есть целиком расположена над ней.
• Условие $x_0 = -\frac{b}{2a} < 0$ означает, что вершина параболы находится слева от оси Oy.

Из этих условий следует, что вершина параболы имеет отрицательную абсциссу ($x_0 < 0$) и положительную ординату ($y_0 = -\frac{D}{4a} > 0$), то есть находится во II координатной четверти. Так как вся парабола лежит выше оси Ox, точка пересечения с осью Oy, $y(0)=c$, также будет иметь положительную ординату. Ответ:

г) Проанализируем условия $a < 0, D > 0, -\frac{b}{2a} > 0$:

• Условие $a < 0$ означает, что ветви параболы направлены вниз.
• Условие $D > 0$ означает, что парабола пересекает ось Ox в двух различных точках.
• Условие $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$ означает, что вершина параболы находится справа от оси Oy.

Совокупность этих условий означает, что вершина параболы находится в I координатной четверти ($x_0 > 0, y_0 = -\frac{D}{4a} > 0$), так как ветви направлены вниз и график должен подняться над осью Ox, чтобы ее пересечь. В зависимости от знака коэффициента $c$, точки пересечения с осью Ox могут быть как по одну сторону от оси Oy, так и по разные. На схеме изображен случай, когда $c>0$, что приводит к одному положительному и одному отрицательному корню ($x_1x_2=c/a < 0$). Ответ: