Номер 3.46, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.46. Найдите значения $b$, при которых график квадратичной функции $y = -x^2 + bx - 9$:

а) имеет с осью абсцисс только одну общую точку;

б) симметричен относительно оси ординат;

в) пересекает ось абсцисс в точках, симметричных относительно прямой $x = 5$.

Дана квадратичная функция $y = -x^2 + bx - 9$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля).

а) имеет с осью абсцисс только одну общую точку;
График квадратичной функции имеет ровно одну общую точку с осью абсцисс (касается ее), когда соответствующее квадратное уравнение $-x^2 + bx - 9 = 0$ имеет единственный корень. Это условие выполняется, если дискриминант ($D$) уравнения равен нулю.
Формула дискриминанта для уравнения $ax^2 + Bx + C = 0$: $D = B^2 - 4aC$.
В нашем случае коэффициенты: $a = -1$, $B = b$, $C = -9$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-9) = b^2 - 36$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$b^2 - 36 = 0$
$b^2 = 36$
$b = \pm \sqrt{36}$.
Ответ: $b = 6$ или $b = -6$.

б) симметричен относительно оси ординат;
График параболы $y = ax^2 + Bx + C$ симметричен относительно оси ординат (оси Oy), если ее ось симметрии совпадает с этой осью, то есть с прямой $x = 0$.
Абсцисса вершины параболы, которая также задает ее ось симметрии, находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2a}$.
В нашем случае $a = -1$ и $B = b$. Приравняем $x_0$ к нулю:
$x_0 = -\frac{b}{2 \cdot (-1)} = \frac{b}{2} = 0$.
Отсюда следует, что $b = 0$.
Ответ: $b = 0$.

в) пересекает ось абсцисс в точках, симметричных относительно прямой $x = 5$.
Если точки пересечения графика с осью абсцисс симметричны относительно прямой $x=5$, это означает, что сама прямая $x=5$ является осью симметрии параболы.
Используем формулу для оси симметрии $x_0 = -\frac{B}{2a}$ и приравняем ее значение к 5:
$x_0 = -\frac{b}{2 \cdot (-1)} = 5$
$\frac{b}{2} = 5$
$b = 10$.
При этом значении $b$ необходимо проверить, что парабола действительно пересекает ось абсцисс. Для этого ее дискриминант должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = b^2 - 36 = 10^2 - 36 = 100 - 36 = 64$.
Поскольку $D > 0$, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, что соответствует условию задачи.
Ответ: $b = 10$.