Номер 3.53, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.53. Найдите координаты вершины параболы:

а) $y = (x + 5)^2 - 4$;

б) $y = -2(x - 8)^2 + 1$;

в) $y = -x^2 + 6$;

г) $y = 7(x - 1)^2$.

Запишите ось симметрии для каждой параболы.

Для нахождения координат вершины и оси симметрии параболы, заданной уравнением в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, нужно определить значения $h$ и $k$. Координаты вершины параболы равны $(h, k)$, а уравнение оси симметрии — $x = h$.

а) $y = (x + 5)^2 - 4$
Данное уравнение можно представить в виде $y = 1 \cdot (x - (-5))^2 + (-4)$. Сравнивая это с общей формулой $y = a(x - h)^2 + k$, получаем:

• $h = -5$
• $k = -4$

Следовательно, координаты вершины параболы: $(-5, -4)$.
Ось симметрии — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, ее уравнение $x = h$.
Ось симметрии: $x = -5$.
Ответ: координаты вершины (-5; -4), ось симметрии $x = -5$.

б) $y = -2(x - 8)^2 + 1$
Это уравнение уже записано в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$. Из уравнения напрямую определяем:

• $h = 8$
• $k = 1$

Следовательно, координаты вершины параболы: $(8, 1)$.
Уравнение оси симметрии: $x = h$.
Ось симметрии: $x = 8$.
Ответ: координаты вершины (8; 1), ось симметрии $x = 8$.

в) $y = -x^2 + 6$
Преобразуем уравнение к стандартному вершинному виду $y = a(x - h)^2 + k$.
$y = -1 \cdot (x - 0)^2 + 6$
Отсюда получаем:

• $h = 0$
• $k = 6$

Следовательно, координаты вершины параболы: $(0, 6)$.
Уравнение оси симметрии: $x = h$.
Ось симметрии: $x = 0$ (это ось ординат OY).
Ответ: координаты вершины (0; 6), ось симметрии $x = 0$.

г) $y = 7(x - 1)^2$
Преобразуем уравнение к стандартному вершинному виду $y = a(x - h)^2 + k$, добавив 0.
$y = 7 \cdot (x - 1)^2 + 0$
Отсюда получаем:

• $h = 1$
• $k = 0$

Следовательно, координаты вершины параболы: $(1, 0)$.
Уравнение оси симметрии: $x = h$.
Ось симметрии: $x = 1$.
Ответ: координаты вершины (1; 0), ось симметрии $x = 1$.