Номер 3.60, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.60. Постройте график квадратичной функции:

a) $y = (x + 5)^2 - 9$;

б) $y = -(x - 2)(x + 4).

Запишите уравнение оси симметрии каждой из полученных парабол.

Графиком данной квадратичной функции является парабола. Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, что позволяет легко определить ключевые характеристики для построения.

1. Вершина и направление ветвей: Из уравнения находим, что вершина параболы находится в точке $(h, k) = (-5, -9)$. Коэффициент при скобке $a=1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Ось симметрии: Осью симметрии является вертикальная прямая, проходящая через вершину. Ее уравнение: $x = -5$.
3. Точки пересечения с осями:
   • С осью OY (y-пересечение): Подставим $x=0$ в уравнение:
     $y = (0+5)^2 - 9 = 25 - 9 = 16$.
     Точка пересечения: $(0, 16)$.
   • С осью OX (нули функции): Подставим $y=0$ в уравнение:
     $(x+5)^2 - 9 = 0$.
     Решая уравнение, получаем $(x+5)^2 = 9$, откуда $x+5 = 3$ или $x+5 = -3$.
     Таким образом, $x_1 = -2$ и $x_2 = -8$.
     Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(-8, 0)$.
4. Построение графика: Отметьте на координатной плоскости вершину $(-5, -9)$, точки пересечения с осями $(-2, 0)$, $(-8, 0)$, $(0, 16)$ и проведите через них параболу, симметричную относительно прямой $x=-5$.

Графиком данной квадратичной функции является парабола. Уравнение представлено в форме с нулями $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, что удобно для нахождения точек пересечения с осью OX.

1. Нули функции и направление ветвей: Из уравнения видно, что парабола пересекает ось OX в точках $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$. Коэффициент $a=-1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Ось симметрии и вершина: Ось симметрии проходит посередине между нулями. Ее уравнение:
   $x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
   Это также является абсциссой вершины, $x_0 = -1$.
   Найдем ординату вершины $y_0$, подставив $x_0=-1$ в уравнение:
   $y_0 = -(-1 - 2)(-1 + 4) = -(-3)(3) = 9$.
   Вершина параболы находится в точке $(-1, 9)$.
3. Точка пересечения с осью OY: Подставим $x=0$ в уравнение:
   $y = -(0 - 2)(0 + 4) = -(-2)(4) = 8$.
   Точка пересечения: $(0, 8)$.
4. Построение графика: Отметьте на координатной плоскости точки пересечения с осью OX $(2, 0)$ и $(-4, 0)$, вершину $(-1, 9)$, точку пересечения с осью OY $(0, 8)$ и проведите через них параболу, симметричную относительно прямой $x=-1$.