Номер 3.66, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.66. Предприниматель шьет от 0 до 50 изделий в день и считает, что уровень затрат (в рублях) на производство $x$ изделий задается с помощью функции $C(x) = x^2 - 10x + 500$.

Пусть $R(x)$ — выручка от продажи $x$ изделий, каждое из которых стоит 50 р.

а) Выразите зависимость $R(x)$.

б) Рассчитайте затраты, выручку и прибыль при продаже 20 швейных изделий.

в) Докажите, что величина прибыли задается с помощью функции $B(x) = -x^2 + 60x - 500$.

г) Найдите максимально выгодное для продажи число изготовленных изделий.

Дано:

• Функция затрат: $C(x) = x^2 - 10x + 500$
• Цена одного изделия: 50 р.
• Количество производимых изделий в день: $x$ от 0 до 50
• $R(x)$ — выручка от продажи $x$ изделий.

а) Выразите зависимость R(x).

Выручка $R(x)$ равна произведению цены одного изделия на количество проданных изделий $x$.

Цена одного изделия составляет 50 рублей.

Следовательно, функция выручки имеет вид:

$R(x) = 50 \cdot x$

Ответ: $R(x) = 50x$.

б) Рассчитайте затраты, выручку и прибыль при продаже 20 швейных изделий.

Для расчета необходимо подставить значение $x=20$ в соответствующие функции.

1. Затраты $C(x)$ при $x=20$:

$C(20) = 20^2 - 10 \cdot 20 + 500 = 400 - 200 + 500 = 700$ р.

2. Выручка $R(x)$ при $x=20$:

$R(20) = 50 \cdot 20 = 1000$ р.

3. Прибыль — это разница между выручкой и затратами. Обозначим прибыль как $B(x)$.

$B(x) = R(x) - C(x)$

$B(20) = R(20) - C(20) = 1000 - 700 = 300$ р.

Ответ: Затраты: 700 р., выручка: 1000 р., прибыль: 300 р.

в) Докажите, что величина прибыли задается с помощью функции $B(x) = -x^2 + 60x - 500$.

Прибыль $B(x)$ определяется как разность между выручкой $R(x)$ и затратами $C(x)$.

$B(x) = R(x) - C(x)$

Подставим известные выражения для $R(x)$ и $C(x)$:

$R(x) = 50x$

$C(x) = x^2 - 10x + 500$

$B(x) = (50x) - (x^2 - 10x + 500)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$B(x) = 50x - x^2 + 10x - 500$

$B(x) = -x^2 + (50x + 10x) - 500$

$B(x) = -x^2 + 60x - 500$

Полученное выражение полностью совпадает с функцией, данной в условии, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

г) Найдите максимально выгодное для продажи число изготовленных изделий.

Максимально выгодное число изделий — это такое количество $x$, при котором функция прибыли $B(x) = -x^2 + 60x - 500$ достигает своего максимального значения.

Функция $B(x)$ является квадратичной параболой, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля). Максимум такой функции достигается в ее вершине.

Координата $x$ вершины параболы $y=ax^2+bx+c$ находится по формуле:

$x_{вершины} = - \frac{b}{2a}$

Для функции $B(x)$ имеем: $a = -1$, $b = 60$.

$x = - \frac{60}{2 \cdot (-1)} = - \frac{60}{-2} = 30$

Полученное значение $x=30$ находится в допустимом диапазоне производства от 0 до 50 изделий.

Таким образом, для получения максимальной прибыли необходимо производить и продавать 30 изделий в день.

Ответ: 30 изделий.