Номер 3.63, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.63. Постройте графики функций и найдите координаты точек пересечения этих графиков:

а) $y = x^2 - 2x - 8$ и $y = 2x - 3$;

б) $y = -x^2 + 6x$ и $y = 9$.

а) Для функций $y = x^2 - 2x - 8$ и $y = 2x - 3$

1. Построение графика функции $y = x^2 - 2x - 8$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный).

• Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
  $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
  $y_0 = (1)^2 - 2(1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$.
  Вершина находится в точке $(1, -9)$.
• Найдем точки пересечения с осями координат:
  С осью Oy (x=0): $y = 0^2 - 2 \cdot 0 - 8 = -8$. Точка $(0, -8)$.
  С осью Ox (y=0): $x^2 - 2x - 8 = 0$.
  Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
  $x_1 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$.
  $x_2 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$.
  Точки пересечения с осью Ox: $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

2. Построение графика функции $y = 2x - 3$.

Это прямая. Для построения достаточно двух точек:

• Если $x=0$, то $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
• Если $x=2$, то $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$. Точка $(2, 1)$.

3. Найдем координаты точек пересечения графиков.

Для этого приравняем правые части уравнений:

Перенесем все члены в одну сторону:

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

Отсюда $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение прямой $y = 2x - 3$:

• При $x_1 = 5$: $y_1 = 2 \cdot 5 - 3 = 10 - 3 = 7$.
• При $x_2 = -1$: $y_2 = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5$.

Таким образом, точки пересечения графиков: $(5, 7)$ и $(-1, -5)$.

Ответ: $(5, 7)$ и $(-1, -5)$.

б) Для функций $y = -x^2 + 6x$ и $y = 9$

1. Построение графика функции $y = -x^2 + 6x$.

Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный).

• Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
  $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$.
  $y_0 = -(3)^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9$.
  Вершина находится в точке $(3, 9)$.
• Найдем точки пересечения с осями координат:
  С осью Oy (x=0): $y = -0^2 + 6 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.
  С осью Ox (y=0): $-x^2 + 6x = 0 \Rightarrow -x(x-6) = 0$.
  $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.
  Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

2. Построение графика функции $y = 9$.

Это прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку $(0, 9)$.

3. Найдем координаты точек пересечения графиков.

Приравняем правые части уравнений:

Перенесем все члены в одну сторону:

Умножим на -1 для удобства:

Это полный квадрат разности:

Уравнение имеет один корень: $x = 3$.

Значение $y$ в точке пересечения уже дано вторым уравнением: $y=9$.

Таким образом, графики имеют одну общую точку (касаются друг друга). Координаты точки пересечения: $(3, 9)$. Эта точка является вершиной параболы.

Ответ: $(3, 9)$.