Номер 3.69, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.69. Изобразите схематически график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если:

а) $a > 0, c < 0, D > 0, -\frac{b}{2a} > 0$;

б) $a > 0, D = 0, -\frac{b}{2a} < 0$;

в) $a < 0, D < 0, -\frac{b}{2a} > 0$,

где $D$ — дискриминант квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$.

Рис. 65

Для построения схематического графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ проанализируем, как каждый из параметров и условий влияет на его расположение.

• Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$ — вниз.
• Коэффициент $c$ — это ордината точки пересечения параболы с осью $Oy$, то есть значение функции при $x=0$.
• Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ определяет количество точек пересечения с осью $Ox$:
  • Если $D > 0$, парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках.
  • Если $D = 0$, парабола касается оси $Ox$ в одной точке (в своей вершине).
  • Если $D < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью $Ox$.
• Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Это значение определяет, по какую сторону от оси $Oy$ находится вершина.

Анализируем условия:

1. $a > 0$: ветви параболы направлены вверх.
2. $c < 0$: парабола пересекает ось $Oy$ ниже оси $Ox$ (в точке с отрицательной ординатой).
3. $D > 0$: парабола пересекает ось $Ox$ в двух различных точках.
4. $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$: абсцисса вершины параболы положительна, значит, вершина находится правее оси $Oy$.

Из этих условий следует, что вершина параболы находится в четвертой координатной четверти (поскольку $x_0 > 0$ и для пересечения с осью $Ox$ при ветвях вверх вершина должна быть ниже этой оси).

Ответ: Схематический график — парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в IV четверти. График пересекает ось $Oy$ в точке с отрицательной ординатой и пересекает ось $Ox$ в двух точках (одна с отрицательной абсциссой, другая — с положительной).

Анализируем условия:

1. $a > 0$: ветви параболы направлены вверх.
2. $D = 0$: парабола имеет одну общую точку с осью $Ox$, то есть касается ее в своей вершине.
3. $x_0 = -\frac{b}{2a} < 0$: абсцисса вершины параболы отрицательна, значит, вершина находится левее оси $Oy$.

Вершина параболы лежит на оси $Ox$ ($y_0=0$) и имеет отрицательную абсциссу $x_0 < 0$. Точка пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$) будет иметь положительную ординату $c > 0$, так как парабола идет вверх от вершины.

Ответ: Схематический график — парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится на отрицательной части оси $Ox$. График касается оси $Ox$ в одной точке и пересекает ось $Oy$ в точке с положительной ординатой.

Анализируем условия:

1. $a < 0$: ветви параболы направлены вниз.
2. $D < 0$: парабола не имеет общих точек с осью $Ox$. Так как ветви направлены вниз, вся парабола расположена ниже оси $Ox$.
3. $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$: абсцисса вершины параболы положительна, значит, вершина находится правее оси $Oy$.

Из этих условий следует, что вершина параболы находится в четвертой координатной четверти ($x_0 > 0$, $y_0 < 0$). Точка пересечения с осью $Oy$ также будет иметь отрицательную ординату ($c < 0$).

Ответ: Схематический график — парабола с ветвями, направленными вниз. Вся парабола расположена ниже оси $Ox$. Вершина параболы находится в IV четверти.