Номер 3.65, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.65. Постройте графики функций $f(x) = -(x + 4)^2 + 9$ и $g(x) = (x - 2)^2 - 1$, определите, имеют ли параболы общие точки.

Для решения задачи сначала выполним построение графиков заданных функций, проанализировав их свойства, а затем аналитически определим, существуют ли у них точки пересечения.

1. Построение графика функции $f(x) = -(x + 4)^2 + 9$

Графиком данной функции является парабола. Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, что позволяет легко определить ключевые характеристики графика.

• Вершина параболы: Координаты вершины $(h, k)$ равны $(-4, 9)$.
• Направление ветвей: Коэффициент $a = -1$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Точки пересечения с осью OX (нули функции): Найдем их, решив уравнение $f(x) = 0$.
  $-(x + 4)^2 + 9 = 0$
  $(x + 4)^2 = 9$
  $x + 4 = 3 \implies x = -1$
  $x + 4 = -3 \implies x = -7$
  Точки пересечения с осью OX: $(-1, 0)$ и $(-7, 0)$.
• Точка пересечения с осью OY: Найдем ее, подставив $x = 0$.
  $f(0) = -(0 + 4)^2 + 9 = -16 + 9 = -7$.
  Точка пересечения с осью OY: $(0, -7)$.

Для построения графика на координатной плоскости отмечаем вершину, точки пересечения с осями и соединяем их плавной кривой.

2. Построение графика функции $g(x) = (x - 2)^2 - 1$

Графиком этой функции также является парабола.

• Вершина параболы: Координаты вершины $(h, k)$ равны $(2, -1)$.
• Направление ветвей: Коэффициент $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Точки пересечения с осью OX (нули функции): Найдем их, решив уравнение $g(x) = 0$.
  $(x - 2)^2 - 1 = 0$
  $(x - 2)^2 = 1$
  $x - 2 = 1 \implies x = 3$
  $x - 2 = -1 \implies x = 1$
  Точки пересечения с осью OX: $(3, 0)$ и $(1, 0)$.
• Точка пересечения с осью OY: Найдем ее, подставив $x = 0$.
  $g(0) = (0 - 2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
  Точка пересечения с осью OY: $(0, 3)$.

График строится на той же координатной плоскости путем нанесения найденных ключевых точек и проведения через них плавной кривой.

Определите, имеют ли параболы общие точки:

Чтобы определить, имеют ли параболы общие точки, необходимо найти решения системы уравнений, то есть приравнять выражения для $f(x)$ и $g(x)$:

$f(x) = g(x)$

$-(x + 4)^2 + 9 = (x - 2)^2 - 1$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$-(x^2 + 8x + 16) + 9 = (x^2 - 4x + 4) - 1$

$-x^2 - 8x - 16 + 9 = x^2 - 4x + 3$

$-x^2 - 8x - 7 = x^2 - 4x + 3$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$0 = (x^2 + x^2) + (-4x + 8x) + (3 + 7)$

$2x^2 + 4x + 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 + 2x + 5 = 0$

Теперь найдем дискриминант ($D$) этого квадратного уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=2, c=5$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$

Так как дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором значения функций $f(x)$ и $g(x)$ были бы равны.

Ответ: Нет, параболы не имеют общих точек.