Номер 3.58, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.58. Постройте график квадратичной функции:

a) $y = x^2 + 4x + 3;$

б) $y = -x^2 + 6x - 5.$

Для построения графика данной квадратичной функции, представляющей собой параболу, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ - $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины. Абсцисса (координата x) вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = \frac{-b}{2a}$. Для нашей функции $a=1$, $b=4$.
   $x_0 = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2$.
   Для нахождения ординаты (координаты y) вершины, подставим $x_0 = -2$ в уравнение функции:
   $y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
   Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-2, -1)$. Прямая $x = -2$ является осью симметрии графика.
3. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью ординат (Oy): значение $x$ равно 0.
     $y = 0^2 + 4 \cdot 0 + 3 = 3$.
     Точка пересечения с осью Oy: $(0, 3)$.
   • С осью абсцисс (Ox): значение $y$ равно 0.
     $x^2 + 4x + 3 = 0$.
     Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.
     $x_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = -3$.
     $x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = -1$.
     Точки пересечения с осью Ox: $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$.
4. Построение графика. На координатной плоскости отмечаем вершину $(-2, -1)$, точки пересечения с осями $(0, 3)$, $(-3, 0)$, $(-1, 0)$. Также можно отметить точку, симметричную точке $(0, 3)$ относительно оси симметрии $x=-2$. Это будет точка $(-4, 3)$. Соединяем точки плавной линией, получая параболу.

Ответ: -1

Для построения графика данной квадратичной функции (параболы) выполним анализ:

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ - $a = -1$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины. Абсцисса вершины: $x_0 = \frac{-b}{2a}$. Для нашей функции $a=-1$, $b=6$.
   $x_0 = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6}{-2} = 3$.
   Ордината вершины:
   $y_0 = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$.
   Следовательно, вершина параболы находится в точке $(3, 4)$. Ось симметрии — прямая $x = 3$.
3. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью ординат (Oy): при $x=0$:
     $y = -0^2 + 6 \cdot 0 - 5 = -5$.
     Точка пересечения с осью Oy: $(0, -5)$.
   • С осью абсцисс (Ox): при $y=0$:
     $-x^2 + 6x - 5 = 0$.
     Умножим обе части на -1: $x^2 - 6x + 5 = 0$.
     По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Корни: $x_1=1$, $x_2=5$.
     Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(5, 0)$.
4. Построение графика. На координатной плоскости отмечаем вершину $(3, 4)$, точки пересечения с осями $(0, -5)$, $(1, 0)$, $(5, 0)$. Найдём точку, симметричную $(0, -5)$ относительно оси $x=3$. Это будет точка $(6, -5)$. Соединяем точки плавной кривой, получая параболу, ветви которой направлены вниз.

Ответ: 4