Номер 3.59, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.59. Постройте график квадратичной функции и найдите множество ее значений:

а) $f(x) = -x^2 + 4x$;

б) $f(x) = x^2 - 1$;

в) $f(x) = -x^2 + 2x - 5$;

г) $f(x) = 2x^2$.

а) Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = -x^2 + 4x$.
Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -1 < 0$), ветви параболы направлены вниз.
Для построения графика найдем ключевые точки:

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам:
   $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.
   $y_0 = f(x_0) = f(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4$.
   Таким образом, вершина находится в точке $(2, 4)$.
2. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью OY (при $x=0$): $y = -0^2 + 4 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
   • С осью OX (при $y=0$): $-x^2 + 4x = 0 \implies -x(x-4)=0$. Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Ось симметрии параболы — прямая $x=2$. График представляет собой параболу, проходящую через точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$, с вершиной в точке $(2, 4)$ и ветвями, направленными вниз.
Поскольку ветви параболы направлены вниз, ее вершина является точкой максимума. Максимальное значение функции равно $y_0 = 4$. Следовательно, множество значений функции — это интервал от $-\infty$ до 4 включительно.
Ответ: $E(f) = (-\infty, 4]$.

б) Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = x^2 - 1$.
Графиком является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положительный ($a = 1 > 0$), ветви параболы направлены вверх.
Для построения графика найдем ключевые точки:

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$:
   $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.
   $y_0 = f(0) = 0^2 - 1 = -1$.
   Вершина находится в точке $(0, -1)$.
2. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью OY (при $x=0$): $y = -1$. Точка $(0, -1)$ (совпадает с вершиной).
   • С осью OX (при $y=0$): $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1$. Корни $x_1 = -1$, $x_2 = 1$. Точки пересечения — $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

График этой функции — это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вниз. Ось симметрии — ось OY ($x=0$).
Поскольку ветви параболы направлены вверх, ее вершина является точкой минимума. Минимальное значение функции равно $y_0 = -1$. Следовательно, множество значений функции — это интервал от -1 включительно до $+\infty$.
Ответ: $E(f) = [-1, +\infty)$.

в) Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = -x^2 + 2x - 5$.
Графиком является парабола с ветвями, направленными вниз ($a = -1 < 0$).
Для построения графика найдем ключевые точки:

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$:
   $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
   $y_0 = f(1) = -(1)^2 + 2 \cdot 1 - 5 = -1 + 2 - 5 = -4$.
   Вершина находится в точке $(1, -4)$.
2. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью OY (при $x=0$): $y = -0^2 + 2 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка пересечения — $(0, -5)$.
   • С осью OX (при $y=0$): $-x^2 + 2x - 5 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-1)(-5) = 4 - 20 = -16$. Так как $D < 0$, действительных корней нет, и график не пересекает ось OX.

Ось симметрии параболы — прямая $x=1$. График представляет собой параболу с вершиной в точке $(1, -4)$, пересекающую ось OY в точке $(0, -5)$ и полностью расположенную под осью OX.
Поскольку ветви параболы направлены вниз, ее вершина является точкой максимума. Максимальное значение функции равно $y_0 = -4$. Следовательно, множество значений функции — это интервал от $-\infty$ до -4 включительно.
Ответ: $E(f) = (-\infty, -4]$.

г) Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = 2x^2$.
Графиком является парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 2 > 0$).
Для построения графика найдем ключевые точки:

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$:
   $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$.
   $y_0 = f(0) = 2 \cdot 0^2 = 0$.
   Вершина находится в точке $(0, 0)$ (начало координат).
2. Точки пересечения с осями координат. Вершина $(0, 0)$ является единственной точкой пересечения графика с обеими осями.
3. Дополнительные точки. $f(1) = 2(1)^2=2$, точка $(1, 2)$. $f(2) = 2(2)^2=8$, точка $(2, 8)$. В силу симметрии относительно оси OY, график также проходит через точки $(-1, 2)$ и $(-2, 8)$.

График представляет собой параболу, "растянутую" в 2 раза вдоль оси OY по сравнению с параболой $y=x^2$.
Поскольку ветви параболы направлены вверх, ее вершина является точкой минимума. Минимальное значение функции равно $y_0 = 0$. Следовательно, множество значений функции — это интервал от 0 включительно до $+\infty$.
Ответ: $E(f) = [0, +\infty)$.