Номер 3.54, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.54. Выберите параболу, вершиной которой является точка с координатами (-3; 5):

a) $f(x) = x^2 - 6x + 14;$

б) $f(x) = 2x^2 + 12x + 28;$

в) $f(x) = -2x^2 - 12x - 13;$

г) $f(x) = -3x^2 + 5.$

Для того чтобы определить, какая из предложенных парабол имеет вершину в точке с координатами $(-3; 5)$, необходимо найти координаты вершины для каждой функции. Координаты вершины параболы, заданной уравнением вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, находятся по формулам:

• Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a}$
• Ордината вершины: $y_v = f(x_v)$

Проверим каждую из предложенных функций.

а) $f(x) = x^2 - 6x + 14$

Здесь коэффициенты $a = 1$, $b = -6$, $c = 14$.
Найдем абсциссу вершины:
$x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.
Поскольку абсцисса вершины $x_v = 3$ не равна $-3$, эта парабола не является искомой. Для полноты решения найдем ординату:
$y_v = f(3) = (3)^2 - 6(3) + 14 = 9 - 18 + 14 = 5$.
Координаты вершины данной параболы: $(3; 5)$.
Ответ: Вершина параболы (3; 5) не совпадает с заданной точкой (-3; 5).

б) $f(x) = 2x^2 + 12x + 28$

Здесь коэффициенты $a = 2$, $b = 12$, $c = 28$.
Найдем абсциссу вершины:
$x_v = -\frac{12}{2 \cdot 2} = -\frac{12}{4} = -3$.
Абсцисса вершины $x_v = -3$ совпадает с заданной. Теперь найдем ординату:
$y_v = f(-3) = 2(-3)^2 + 12(-3) + 28 = 2 \cdot 9 - 36 + 28 = 18 - 36 + 28 = 10$.
Координаты вершины данной параболы: $(-3; 10)$.
Ответ: Вершина параболы (-3; 10) не совпадает с заданной точкой (-3; 5).

в) $f(x) = -2x^2 - 12x - 13$

Здесь коэффициенты $a = -2$, $b = -12$, $c = -13$.
Найдем абсциссу вершины:
$x_v = -\frac{-12}{2 \cdot (-2)} = -\frac{-12}{-4} = -3$.
Абсцисса вершины $x_v = -3$ совпадает с заданной. Теперь найдем ординату:
$y_v = f(-3) = -2(-3)^2 - 12(-3) - 13 = -2 \cdot 9 + 36 - 13 = -18 + 36 - 13 = 5$.
Ордината вершины $y_v = 5$ также совпадает с заданной. Координаты вершины данной параболы: $(-3; 5)$.
Ответ: Вершина данной параболы имеет координаты (-3; 5), что соответствует условию задачи.

г) $f(x) = -3x^2 + 5$

Здесь коэффициенты $a = -3$, $b = 0$, $c = 5$.
Найдем абсциссу вершины:
$x_v = -\frac{0}{2 \cdot (-3)} = 0$.
Поскольку абсцисса вершины $x_v = 0$ не равна $-3$, эта парабола не является искомой. Найдем ординату:
$y_v = f(0) = -3(0)^2 + 5 = 5$.
Координаты вершины данной параболы: $(0; 5)$.
Ответ: Вершина параболы (0; 5) не совпадает с заданной точкой (-3; 5).

Таким образом, парабола, вершиной которой является точка с координатами $(-3; 5)$, задается функцией из пункта в).