Номер 3.56, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.56. Найдите область определения и множество значений квадратичной функции:

а) $f(x) = -(x-5)^2 + 8;$

б) $f(x) = x^2 - 8x + 3;$

в) $f(x) = 4(x+5)(x-7);$

г) $f(x) = -x^2 + 6x - 9.$

Для нахождения области определения и множества значений каждой квадратичной функции проанализируем ее вид. Область определения любой квадратичной функции — это множество всех действительных чисел, так как это многочлен.

Область определения ($D(f)$):
Функция определена для всех действительных чисел $x$.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений ($E(f)$):
Функция представлена в виде $f(x) = a(x-x_v)^2 + y_v$, где $(x_v, y_v)$ — координаты вершины параболы. В данном случае вершина находится в точке $(5, 8)$.
Коэффициент $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, в точке вершины функция достигает своего максимального значения.
Максимальное значение функции равно $y_v = 8$.
Таким образом, множество значений функции — это все числа, не превосходящие 8.
$E(f) = (-\infty; 8]$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$, множество значений: $(-\infty; 8]$.

Область определения ($D(f)$):
Функция определена для всех действительных чисел $x$.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений ($E(f)$):
Функция представлена в виде $f(x) = ax^2 + bx + c$. Коэффициент $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, в точке вершины функция достигает своего минимального значения.
Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$.
$y_v = f(4) = (4)^2 - 8(4) + 3 = 16 - 32 + 3 = -13$.
Минимальное значение функции равно $y_v = -13$.
Таким образом, множество значений функции — это все числа, не меньшие -13.
$E(f) = [-13; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$, множество значений: $[-13; +\infty)$.

Область определения ($D(f)$):
Функция определена для всех действительных чисел $x$.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений ($E(f)$):
Для нахождения вершины приведем функцию к стандартному виду, раскрыв скобки:
$f(x) = 4(x^2 - 7x + 5x - 35) = 4(x^2 - 2x - 35) = 4x^2 - 8x - 140$.
Коэффициент $a = 4$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх, и в вершине функция достигает минимума.
Абсцисса вершины $x_v$ находится посередине между корнями $x_1 = -5$ и $x_2 = 7$:
$x_v = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Найдем ординату вершины, подставив $x_v$ в функцию:
$y_v = f(1) = 4(1 + 5)(1 - 7) = 4 \cdot 6 \cdot (-6) = -144$.
Минимальное значение функции равно $y_v = -144$.
Таким образом, множество значений функции — это все числа, не меньшие -144.
$E(f) = [-144; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$, множество значений: $[-144; +\infty)$.

Область определения ($D(f)$):
Функция определена для всех действительных чисел $x$.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений ($E(f)$):
Преобразуем функцию, выделив полный квадрат:
$f(x) = -(x^2 - 6x + 9) = -(x - 3)^2$.
Это функция вида $f(x) = a(x - x_v)^2 + y_v$ с вершиной в точке $(3, 0)$.
Коэффициент $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз, и в вершине функция достигает максимума.
Максимальное значение функции равно $y_v = 0$.
Таким образом, множество значений функции — это все числа, не превосходящие 0.
$E(f) = (-\infty; 0]$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$, множество значений: $(-\infty; 0]$.