Номер 3.61, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.61. Постройте график квадратичной функции:

а) $y = (x - 4)(x + 2)$;

б) $y = 4x - x^2$;

в) $y = 3x^2 + 6x + 4$;

г) $y = -(x - 2)^2$.

Для каждой параболы определите, пересекает ли парабола график функции $y = -9$, и если да, то в скольких точках.

Для решения задачи по каждой функции определим ключевые свойства параболы (направление ветвей, координаты вершины) и затем найдем количество точек пересечения с прямой $y = -9$.

а) $y = (x - 4)(x + 2)$

1. Анализ функции и построение графика.
Раскроем скобки, чтобы привести функцию к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$:
$y = x^2 + 2x - 4x - 8 = x^2 - 2x - 8$.
Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
$y_0 = (1)^2 - 2(1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$.
Вершина параболы находится в точке $(1, -9)$.

2. Пересечение с прямой $y = -9$.
Поскольку ветви параболы направлены вверх, ее вершина является точкой минимума. Минимальное значение функции равно $y_0 = -9$. Это означает, что парабола касается прямой $y = -9$ в одной точке — своей вершине.
Алгебраически, решим уравнение $x^2 - 2x - 8 = -9$:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x - 1)^2 = 0$
Уравнение имеет один корень $x = 1$.
Следовательно, существует одна точка пересечения.
Ответ: 1

б) $y = 4x - x^2$

1. Анализ функции и построение графика.
Запишем функцию в стандартном виде: $y = -x^2 + 4x$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как $a = -1 < 0$.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.
$y_0 = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4$.
Вершина параболы находится в точке $(2, 4)$.

2. Пересечение с прямой $y = -9$.
Поскольку ветви параболы направлены вниз, ее вершина является точкой максимума. Максимальное значение функции равно $y_0 = 4$. Так как $4 > -9$ и ветви уходят в $-\infty$, парабола пересечет прямую $y = -9$.
Алгебраически, решим уравнение $-x^2 + 4x = -9$:
$x^2 - 4x - 9 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 16 + 36 = 52$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, существуют две точки пересечения.
Ответ: 2

в) $y = 3x^2 + 6x + 4$

1. Анализ функции и построение графика.
Функция уже в стандартном виде. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как $a = 3 > 0$.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 3} = -1$.
$y_0 = 3(-1)^2 + 6(-1) + 4 = 3 - 6 + 4 = 1$.
Вершина параболы находится в точке $(-1, 1)$.

2. Пересечение с прямой $y = -9$.
Поскольку ветви параболы направлены вверх, ее вершина является точкой минимума. Минимальное значение функции равно $y_0 = 1$. Так как вся парабола находится выше значения $y=1$, она не может пересечь прямую $y = -9$.
Алгебраически, решим уравнение $3x^2 + 6x + 4 = -9$:
$3x^2 + 6x + 13 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 13 = 36 - 156 = -120$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, точек пересечения нет.
Ответ: 0

г) $y = -(x - 2)^2$

1. Анализ функции и построение графика.
Функция задана в вершинной форме $y = a(x-h)^2+k$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как $a = -1 < 0$.
Вершина параболы находится в точке $(h, k)$, то есть в точке $(2, 0)$.

2. Пересечение с прямой $y = -9$.
Поскольку ветви параболы направлены вниз, ее вершина является точкой максимума. Максимальное значение функции равно $y_0 = 0$. Так как $0 > -9$ и ветви уходят в $-\infty$, парабола пересечет прямую $y = -9$.
Алгебраически, решим уравнение $-(x - 2)^2 = -9$:
$(x - 2)^2 = 9$
$x - 2 = 3$ или $x - 2 = -3$
$x_1 = 5$, $x_2 = -1$
Уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, существуют две точки пересечения.
Ответ: 2