Номер 3.55, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.55. Найдите наименьшее (наибольшее) значение квадратичной функции:

а) $y = 3(x + 1)^2 - 7;$

б) $y = -x^2 - 6x - 2;$

в) $y = (x - 1)(x + 3);$

г) $y = -2x^2 + 10.$

Чтобы найти наименьшее или наибольшее значение квадратичной функции, необходимо найти ординату (координату y) вершины параболы. Направление ветвей параболы, которое определяется знаком коэффициента $a$ при $x^2$, показывает, будет ли это значение наименьшим или наибольшим.

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх, и в вершине функция достигает своего наименьшего значения.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз, и в вершине функция достигает своего наибольшего значения.

Координаты вершины $(x_0, y_0)$ параболы $y = ax^2 + bx + c$ можно найти по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$ (значение функции в точке $x_0$)

Если функция задана в виде $y = a(x-h)^2 + k$, то ее вершина находится в точке $(h, k)$, и ее экстремум (наименьшее или наибольшее значение) равен $k$.

а) $y = 3(x+1)^2 - 7$

Функция представлена в виде $y = a(x-h)^2 + k$, где $a=3$, $h=-1$, $k=-7$.

Поскольку коэффициент $a=3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Ордината вершины равна $k = -7$. Это и есть наименьшее значение функции.

Ответ: -7.

б) $y = -x^2 - 6x - 2$

Функция представлена в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-1$, $b=-6$, $c=-2$.

Поскольку коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(-1)} = -\frac{-6}{-2} = -3$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_0 = -3$ в уравнение функции:

$y_0 = -(-3)^2 - 6(-3) - 2 = -9 + 18 - 2 = 7$.

Наибольшее значение функции равно 7.

Ответ: 7.

в) $y = (x-1)(x+3)$

Сначала преобразуем функцию к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$, раскрыв скобки:

$y = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$.

Здесь коэффициенты $a=1$, $b=2$, $c=-3$.

Поскольку $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(1)} = -1$.

Найдем ординату вершины, подставив $x_0 = -1$ в исходное (или преобразованное) уравнение:

$y_0 = (-1-1)(-1+3) = (-2)(2) = -4$.

Наименьшее значение функции равно -4.

Ответ: -4.

г) $y = -2x^2 + 10$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + c$ (частный случай, где $b=0$). Коэффициенты: $a=-2$, $b=0$, $c=10$.

Поскольку $a=-2 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Абсцисса вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2(-2)} = 0$.

Ордината вершины:

$y_0 = -2(0)^2 + 10 = 10$.

Наибольшее значение функции равно 10.

Ответ: 10.