Номер 3.48, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.48. Нулями квадратичной функции $y = -4x^2 + bx + c$ являются числа $-1$ и $3$. Найдите:

а) координаты вершины параболы;

б) ось симметрии параболы;

в) множество значений функции.

Дана квадратичная функция $y = -4x^2 + bx + c$. Нули этой функции (точки пересечения с осью Ox, или корни) — это $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Для нахождения коэффициентов $b$ и $c$ можно воспользоваться разложением квадратичной функции на множители по известным корням: $y = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Подставим известные значения $a = -4$, $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$ в формулу:

$y = -4(x - (-1))(x - 3) = -4(x + 1)(x - 3)$

Теперь раскроем скобки, чтобы привести функцию к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$:

$y = -4(x^2 - 3x + x - 3) = -4(x^2 - 2x - 3)$

$y = -4x^2 + 8x + 12$

Сравнивая полученное уравнение с $y = -4x^2 + bx + c$, находим, что $b = 8$ и $c = 12$.

Итак, полное уравнение функции: $y = -4x^2 + 8x + 12$.

а) координаты вершины параболы;

Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$ вычисляются по формулам. Абсцисса вершины $x_в$ находится как среднее арифметическое корней:

$x_в = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Для нахождения ординаты вершины $y_в$ подставим значение $x_в = 1$ в уравнение параболы:

$y_в = -4(1)^2 + 8(1) + 12 = -4 \cdot 1 + 8 + 12 = -4 + 20 = 16$

Ответ: $(1, 16)$.

б) ось симметрии параболы;

Ось симметрии параболы представляет собой вертикальную прямую, которая проходит через вершину параболы. Уравнение этой прямой: $x = x_в$.

Так как $x_в = 1$, то уравнение оси симметрии имеет вид $x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

в) множество значений функции.

Множество значений функции (или область значений) — это все возможные значения, которые может принимать переменная $y$. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен $a = -4$, что меньше нуля ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это значит, что вершина параболы является точкой максимума функции.

Максимальное значение функции равно ординате вершины $y_в = 16$. Таким образом, функция принимает все значения от минус бесконечности до 16 включительно.

Ответ: $(-\infty; 16]$.