Номер 3.45, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.45. График квадратичной функции $f(x) = 2x^2 + bx + 4$ проходит через точку $B(-1; -12)$. Найдите:

а) координаты вершины параболы;

б) ось симметрии параболы;

в) множество значений функции;

г) нули функции.

Дана квадратичная функция $f(x) = 2x^2 + bx + 4$. Известно, что её график проходит через точку $B(-1; -12)$. Это означает, что при $x = -1$ значение функции $f(x)$ равно $-12$. Подставим эти значения в уравнение функции, чтобы найти коэффициент $b$.

$f(-1) = 2(-1)^2 + b(-1) + 4 = -12$

$2(1) - b + 4 = -12$

$6 - b = -12$

$b = 6 + 12$

$b = 18$

Таким образом, полное уравнение функции: $f(x) = 2x^2 + 18x + 4$.

а) координаты вершины параболы;

Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$ для функции $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формулам:

$x_в = -\frac{b}{2a}$

$y_в = f(x_в)$

В нашем случае $a = 2$ и $b = 18$.

$x_в = -\frac{18}{2 \cdot 2} = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2}$

Теперь найдем $y_в$, подставив $x_в$ в уравнение функции:

$y_в = f(-\frac{9}{2}) = 2(-\frac{9}{2})^2 + 18(-\frac{9}{2}) + 4$

$y_в = 2(\frac{81}{4}) - \frac{162}{2} + 4$

$y_в = \frac{81}{2} - 81 + 4 = \frac{81}{2} - 77 = \frac{81}{2} - \frac{154}{2} = -\frac{73}{2}$

Координаты вершины параболы: $(-\frac{9}{2}; -\frac{73}{2})$. Преобразуем неправильные дроби в смешанные числа.

Ответ: $(-\textbf{4}\frac{1}{2}; -\textbf{36}\frac{1}{2})$

б) ось симметрии параболы;

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через её вершину. Уравнение оси симметрии: $x = x_в$.

Так как $x_в = -\frac{9}{2}$, то уравнение оси симметрии:

Ответ: $x = -\textbf{4}\frac{1}{2}$

в) множество значений функции;

Множество значений функции (область значений) зависит от направления ветвей параболы и ординаты её вершины $y_в$. Так как коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, вершина является точкой минимума функции. Минимальное значение функции равно $y_в = -\frac{73}{2}$.

Множество значений функции — это все числа от $y_в$ включительно до $+\infty$.

$E(f) = [y_в; +\infty)$

Ответ: $[-\textbf{36}\frac{1}{2}; +\infty)$

г) нули функции.

Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x) = 0$. Для их нахождения решим квадратное уравнение:

$2x^2 + 18x + 4 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 + 9x + 2 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 81 - 8 = 73$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{73}}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{-9 - \sqrt{73}}{2}$, $x_2 = \frac{-9 + \sqrt{73}}{2}$