Номер 3.44, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.44. Найдите значения c, при которых график квадратичной функции $y = x^2 + 10x + c$:

а) имеет с осью абсцисс только одну общую точку;

б) пересекает ось ординат в точке $A(0; -7)$;

в) проходит через начало координат;

г) не имеет с осью абсцисс общих точек.

Дана квадратичная функция $y = x^2 + 10x + c$. Мы найдем значения параметра $c$ для каждого из указанных условий.

а) имеет с осью абсцисс только одну общую точку;
График квадратичной функции имеет с осью абсцисс (осью Ox) только одну общую точку, если соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 10x + c = 0$ имеет ровно один действительный корень. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ этого уравнения равен нулю.
Формула дискриминанта для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ имеет вид $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=10$.
Вычислим дискриминант: $D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 100 - 4c$.
Приравняем дискриминант к нулю: $100 - 4c = 0$
$4c = 100$
$c = \frac{100}{4}$
$c = 25$
Ответ: 25

б) пересекает ось ординат в точке А(0; –7);
График функции пересекает ось ординат (ось Oy) в точке, абсцисса которой $x=0$. Если график проходит через точку $A(0; -7)$, то ее координаты должны удовлетворять уравнению функции.
Подставим значения $x=0$ и $y=-7$ в уравнение $y = x^2 + 10x + c$:
$-7 = (0)^2 + 10 \cdot 0 + c$
$-7 = 0 + 0 + c$
$c = -7$
Ответ: -7

в) проходит через начало координат;
Начало координат — это точка $(0; 0)$. Если график функции проходит через эту точку, ее координаты должны удовлетворять уравнению функции.
Подставим значения $x=0$ и $y=0$ в уравнение $y = x^2 + 10x + c$:
$0 = (0)^2 + 10 \cdot 0 + c$
$0 = 0 + 0 + c$
$c = 0$
Ответ: 0

г) не имеет с осью абсцисс общих точек.
График функции не имеет с осью абсцисс общих точек, если соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 10x + c = 0$ не имеет действительных корней. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ уравнения отрицателен ($D < 0$).
Как мы уже вычислили в пункте а), дискриминант равен $D = 100 - 4c$.
Решим неравенство $D < 0$:
$100 - 4c < 0$
$100 < 4c$
$c > \frac{100}{4}$
$c > 25$
Таким образом, график не имеет общих точек с осью абсцисс при любом значении $c$, которое строго больше 25.
Ответ: $c > 25$