Номер 3.64, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.64. На рисунке 64 изображен график одной из функций:

а) $y = x^2 - 3x$;

б) $y = x^2 - 2x - 2$;

в) $y = x^2 - 2$;

г) $y = x^2 + 2x - 2$.

Определите, график какой функции дан на рисунке. Объясните свой выбор.

Рис. 64

Для того чтобы определить, какая из предложенных функций соответствует графику на рисунке, необходимо проанализировать его ключевые характеристики и сопоставить их с предложенными вариантами.

1. Анализ графика:

• Направление ветвей: Ветви параболы направлены вверх, следовательно, коэффициент $a$ в уравнении $y = ax^2 + bx + c$ должен быть положительным. Во всех предложенных функциях $a=1$, так что все они подходят по этому критерию.
• Пересечение с осью Y: График пересекает ось Y в точке $(0, -2)$. Это означает, что свободный член $c$ в уравнении функции равен -2.
• Положение вершины: Вершина параболы находится в правой полуплоскости (справа от оси Y), то есть её абсцисса (координата x) положительна. Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$.

2. Проверка каждого варианта:

а) $y = x^2 - 3x$
В этой функции свободный член $c=0$. График должен проходить через начало координат $(0, 0)$, что противоречит рисунку, где точка пересечения с осью Y — $(0, -2)$.
Ответ: Неверно.

б) $y = x^2 - 2x - 2$
Свободный член $c=-2$, что соответствует точке пересечения $(0, -2)$ на графике. Найдем абсциссу вершины: $a=1, b=-2$. $x_v = -(-2) / (2 \cdot 1) = 1$. Абсцисса вершины $x_v=1$ положительна, что соответствует расположению вершины справа от оси Y. Этот вариант полностью соответствует графику.
Ответ: Верно.

в) $y = x^2 - 2$
Свободный член $c=-2$, что соответствует точке пересечения $(0, -2)$ на графике. Найдем абсциссу вершины: $a=1, b=0$. $x_v = -0 / (2 \cdot 1) = 0$. Вершина параболы находится на оси Y, в точке $(0, -2)$. На рисунке вершина смещена вправо.
Ответ: Неверно.

г) $y = x^2 + 2x - 2$
Свободный член $c=-2$, что соответствует точке пересечения $(0, -2)$ на графике. Найдем абсциссу вершины: $a=1, b=2$. $x_v = -2 / (2 \cdot 1) = -1$. Абсцисса вершины отрицательна, следовательно, вершина параболы должна быть слева от оси Y, что противоречит рисунку.
Ответ: Неверно.

Заключение:

Единственная функция, которая удовлетворяет всем условиям (пересечение с осью Y в точке $(0, -2)$ и положительная абсцисса вершины), это $y = x^2 - 2x - 2$.

Следовательно, на рисунке 64 изображен график функции б) $y = x^2 - 2x - 2$.