Номер 3.71, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.71. Прямая $x = 1$ является осью симметрии параболы $f(x) = 4x^2 + (a^2 - 8)x + 2$. Найдите координаты вершины параболы.

Дана парабола, заданная функцией $f(x) = 4x^2 + (a^2 - 8)x + 2$.

Общий вид уравнения параболы: $y = Ax^2 + Bx + C$. Координата $x$ вершины параболы ($x_v$) находится по формуле: $x_v = -\frac{B}{2A}$

В нашем случае коэффициенты уравнения параболы равны: $A = 4$
$B = a^2 - 8$
$C = 2$

Из условия известно, что прямая $x = 1$ является осью симметрии параболы. Ось симметрии всегда проходит через вершину параболы, поэтому x-координата вершины параболы равна 1: $x_v = 1$.

Теперь мы можем использовать формулу для $x_v$, чтобы найти значение параметра $a$. Подставим известные значения: $1 = -\frac{a^2 - 8}{2 \cdot 4}$
$1 = -\frac{a^2 - 8}{8}$

Умножим обе части уравнения на 8: $8 = -(a^2 - 8)$
$8 = -a^2 + 8$

Вычтем 8 из обеих частей уравнения: $0 = -a^2$
$a^2 = 0$
$a = 0$

Теперь, зная значение $a=0$, мы можем записать точное уравнение параболы, подставив это значение в исходную функцию: $f(x) = 4x^2 + (0^2 - 8)x + 2$
$f(x) = 4x^2 - 8x + 2$

Координаты вершины параболы - это $(x_v, y_v)$. Мы уже знаем, что $x_v = 1$. Для нахождения y-координаты вершины ($y_v$), нужно подставить значение $x_v$ в уравнение параболы: $y_v = f(x_v) = f(1)$
$y_v = 4(1)^2 - 8(1) + 2$
$y_v = 4 - 8 + 2$
$y_v = -2$

Следовательно, координаты вершины параболы равны $(1, -2)$.

Найдите координаты вершины параболы: Ответ: $(1, -2)$.