Номер 3.77, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.77. Представьте в виде произведения:

a) $m^3 + mn^2 + 13m^2n + 13n^3$;

б) $a^2b^2 + 5a^2b - 5ab - ab^2$.

а) Чтобы представить выражение $m^3 + mn^2 + 13m^2n + 13n^3$ в виде произведения, воспользуемся методом группировки. Переставим слагаемые для удобства:

$m^3 + 13m^2n + mn^2 + 13n^3$

Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(m^3 + 13m^2n) + (mn^2 + 13n^3)$

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $m^2$, а во второй — $n^2$:

$m^2(m + 13n) + n^2(m + 13n)$

Мы получили два слагаемых, у которых есть общий множитель $(m + 13n)$. Вынесем его за скобки:

$(m + 13n)(m^2 + n^2)$

Ответ: $(m + 13n)(m^2 + n^2)$

б) Для разложения на множители выражения $a^2b^2 + 5a^2b - 5ab - ab^2$ также применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(a^2b^2 + 5a^2b) + (-5ab - ab^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой скобки вынесем $a^2b$, а из второй $-ab$:

$a^2b(b + 5) - ab(5 + b)$

Поскольку $5 + b$ это то же самое, что и $b + 5$, мы можем вынести общий множитель $(b + 5)$ за скобки:

$(b + 5)(a^2b - ab)$

Заметим, что выражение во второй скобке $(a^2b - ab)$ также можно упростить, вынеся за скобки общий множитель $ab$:

$a^2b - ab = ab(a - 1)$

Подставим это в наше выражение:

$(b + 5)ab(a - 1)$

Запишем множители в более стандартном порядке:

$ab(a - 1)(b + 5)$

Ответ: $ab(a - 1)(b + 5)$