Номер 3.84, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.84. Верно ли, что значения функции $y = f(x)$ положительны для всех значений аргумента:

а) $f(x) = x^2 + 1;$

б) $f(x) = x^2 - 1;$

в) $f(x) = -x^2 + 1?$

Чтобы ответить на вопрос, нужно для каждой функции проверить, выполняется ли неравенство $f(x) > 0$ для всех действительных значений аргумента $x$.

Рассмотрим выражение $f(x) = x^2 + 1$.

Компонент $x^2$ является квадратом действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Прибавляя 1 к неотрицательному числу ($x^2$), мы получаем результат, который всегда будет больше или равен 1:

$x^2 + 1 \ge 0 + 1$

$f(x) \ge 1$

Поскольку $1 > 0$, значения функции $f(x) = x^2 + 1$ всегда положительны для всех значений аргумента.

Ответ: Да.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - 1$. Чтобы утверждение было верным, значения функции должны быть положительными для всех $x$.

Найдем контрпример. Возьмем значение аргумента $x = 0$:

$f(0) = 0^2 - 1 = -1$

Поскольку мы нашли значение аргумента ($x=0$), при котором значение функции отрицательно ($-1 < 0$), утверждение неверно. Значения функции не всегда положительны.

Ответ: Нет.

Рассмотрим функцию $f(x) = -x^2 + 1$. Проверим, всегда ли ее значения положительны.

Найдем контрпример. Возьмем значение аргумента $x = 2$:

$f(2) = -(2^2) + 1 = -4 + 1 = -3$

Поскольку мы нашли значение аргумента ($x=2$), при котором значение функции отрицательно ($-3 < 0$), утверждение неверно.

Ответ: Нет.