Номер 3.89, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.89. Постройте график квадратичной функции и найдите ее промежутки монотонности:

а) $y = (x - 6)^2 - 1;$

в) $y = (x - 1)(x + 5);$

б) $y = -2x^2 - 4x + 16;$

г) $y = -x^2 + 6x.$

Можно ли найти промежутки монотонности квадратичной функции, не выполняя построения графика?

а) $y = (x - 6)^2 - 1$
График этой функции — парабола. Уравнение дано в вершинной форме $y = a(x - x_v)^2 + y_v$.
Коэффициент $a = 1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины: $(6; -1)$.
Для построения графика найдем точки пересечения с осями:

• При $x=0$, $y=(0-6)^2 - 1 = 35$. Точка пересечения с осью OY: $(0; 35)$.
• При $y=0$, $(x-6)^2 - 1 = 0 \Rightarrow (x-6)^2 = 1 \Rightarrow x-6 = \pm 1$. Корни $x_1=5$, $x_2=7$. Точки пересечения с осью OX: $(5; 0)$ и $(7; 0)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке до абсциссы вершины и возрастает после.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 6]$ и возрастает на промежутке $[6; \infty)$.

б) $y = -2x^2 - 4x + 16$
График — парабола, заданная в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$.
Коэффициент $a = -2 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины. Абсцисса: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(-2)} = -1$.
Ордината: $y_v = -2(-1)^2 - 4(-1) + 16 = -2 + 4 + 16 = 18$. Вершина в точке $(-1; 18)$.
Для построения графика найдем точки пересечения с осями:

• При $x=0$, $y=16$. Точка пересечения с осью OY: $(0; 16)$.
• При $y=0$, $-2x^2 - 4x + 16 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 = 0$. Корни $x_1=-4$, $x_2=2$. Точки пересечения с осью OX: $(-4; 0)$ и $(2; 0)$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает до абсциссы вершины и убывает после.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1]$ и убывает на промежутке $[-1; \infty)$.

в) $y = (x - 1)(x + 5)$
График — парабола. Раскроем скобки: $y = x^2 + 4x - 5$.
Коэффициент $a = 1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины. Абсцисса: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(1)} = -2$.
Ордината: $y_v = (-2 - 1)(-2 + 5) = (-3)(3) = -9$. Вершина в точке $(-2; -9)$.
Для построения графика найдем точки пересечения с осями:

• При $x=0$, $y=-5$. Точка пересечения с осью OY: $(0; -5)$.
• Нули функции видны из исходной формы: $x_1=1$, $x_2=-5$. Точки пересечения с осью OX: $(1; 0)$ и $(-5; 0)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает до абсциссы вершины и возрастает после.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$ и возрастает на промежутке $[-2; \infty)$.

г) $y = -x^2 + 6x$
График — парабола.
Коэффициент $a = -1 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины. Абсцисса: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3$.
Ордината: $y_v = -(3)^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9$. Вершина в точке $(3; 9)$.
Для построения графика найдем точки пересечения с осями:

• При $y=0$, $-x^2 + 6x = 0 \Rightarrow -x(x-6)=0$. Корни $x_1=0$, $x_2=6$. Точки пересечения с осью OX: $(0; 0)$ и $(6; 0)$.
• Точка пересечения с осью OY также $(0; 0)$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает до абсциссы вершины и убывает после.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$ и убывает на промежутке $[3; \infty)$.

Можно ли найти промежутки монотонности квадратичной функции, не выполняя построения графика?
Да, можно. Промежутки монотонности квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ определяются знаком старшего коэффициента $a$ и абсциссой вершины параболы $x_v$.

1. Найти абсциссу вершины по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.
2. Определить направление ветвей по знаку коэффициента $a$.
3. Если $a > 0$ (ветви вверх), функция убывает на $(-\infty; x_v]$ и возрастает на $[x_v; \infty)$.
4. Если $a < 0$ (ветви вниз), функция возрастает на $(-\infty; x_v]$ и убывает на $[x_v; \infty)$.

Таким образом, построение графика не является обязательным для нахождения промежутков монотонности.
Ответ: Да, можно. Для этого достаточно знать направление ветвей параболы (по знаку коэффициента $a$) и абсциссу ее вершины.