Номер 3.93, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.93. Из данных квадратичных функций выберите все функции, которые возрастают на промежутке $(-\infty; 2]$:

а) $y = (x - 2)^2 - 1$;

б) $y = -7(x - 2)^2 + 4$;

в) $y = -5x^2 + 20x + 3$;

г) $y = -x^2 - 2$;

д) $y = x^2 - 2x - 7$;

е) $y = -6x^2 + 12$.

Приведите примеры квадратичных функций, которые убывают на промежутке $(-\infty; -2]$.

Для определения промежутков возрастания и убывания квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ нужно проанализировать знак коэффициента $a$ и расположение вершины параболы $x_v = -b/(2a)$.

• Если $a > 0$ (ветви вверх), функция убывает на $(-\infty, x_v]$ и возрастает на $[x_v, \infty)$.
• Если $a < 0$ (ветви вниз), функция возрастает на $(-\infty, x_v]$ и убывает на $[x_v, \infty)$.

В первой части задачи нам нужно найти функции, которые возрастают на промежутке $(-\infty; 2]$. Это означает, что для них должны одновременно выполняться два условия:

1. Коэффициент $a < 0$.
2. Абсцисса вершины $x_v = 2$.

Анализ данных функций

а) $y = (x - 2)^2 - 1$
Это парабола с вершиной в точке $x_v = 2$. Коэффициент при старшей степени $a=1$. Так как $a > 0$, ветви направлены вверх, и функция на промежутке $(-\infty; 2]$ убывает.
Ответ: не подходит.

б) $y = -7(x - 2)^2 + 4$
Это парабола с вершиной в точке $x_v = 2$. Коэффициент $a=-7$. Так как $a < 0$, ветви направлены вниз, и функция на промежутке $(-\infty; 2]$ возрастает.
Ответ: подходит.

в) $y = -5x^2 + 20x + 3$
Коэффициент $a = -5$, что меньше нуля ($a < 0$), значит ветви направлены вниз. Найдем абсциссу вершины: $x_v = -b/(2a) = -20/(2 \cdot (-5)) = -20/(-10) = 2$. Оба условия ($a<0$ и $x_v=2$) выполнены, значит, функция возрастает на $(-\infty; 2]$.
Ответ: подходит.

г) $y = -x^2 - 2$
Коэффициент $a = -1 < 0$ (ветви вниз). Найдем абсциссу вершины: $x_v = -0/(2 \cdot (-1)) = 0$. Так как $x_v \neq 2$, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$, а не на всем промежутке $(-\infty; 2]$.
Ответ: не подходит.

д) $y = x^2 - 2x - 7$
Коэффициент $a=1 > 0$. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, на промежутке левее вершины функция убывает. Условие $a<0$ не выполняется.
Ответ: не подходит.

е) $y = -6x^2 + 12$
Коэффициент $a = -6 < 0$ (ветви вниз). Найдем абсциссу вершины: $x_v = -0/(2 \cdot (-6)) = 0$. Так как $x_v \neq 2$, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$, а не на всем промежутке $(-\infty; 2]$.
Ответ: не подходит.

Итог: Функции, которые возрастают на промежутке $(-\infty; 2]$, это функции б) и в).

Примеры квадратичных функций, которые убывают на промежутке $(-\infty; -2]$

Чтобы квадратичная функция убывала на промежутке $(-\infty; -2]$, для нее должны выполняться условия:

1. Коэффициент $a > 0$ (ветви параболы направлены вверх).
2. Абсцисса вершины $x_v = -2$.

Примеры таких функций:

• $y = (x + 2)^2$ (здесь $a=1 > 0$, $x_v=-2$)
• $y = 3(x + 2)^2 + 1$ (здесь $a=3 > 0$, $x_v=-2$)
• $y = x^2 + 4x + 5$ (здесь $a=1 > 0$, $x_v = -4/(2 \cdot 1) = -2$)