Номер 3.97, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.97. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

а) $y = x^2 - 8x + 7;$

б) $y = -2x^2 + 5x - 2;$

в) $y = x^2 + 8x + 16;$

г) $y = -3x^2 + x - 5;$

д) $y = -9x^2 - 6x - 1;$

е) $y = 2x^2 + 9.$

Чтобы найти промежутки знакопостоянства для каждой квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, мы выполним следующие шаги:

1. Найдем нули функции, решив уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Это точки, в которых график функции пересекает или касается оси Ox.
2. Определим направление ветвей параболы по знаку коэффициента $a$. Если $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз.
3. На основе нулей функции и направления ветвей параболы определим промежутки, на которых функция принимает положительные ($y > 0$) и отрицательные ($y < 0$) значения.

а) $y = x^2 - 8x + 7$

1. Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 - 8x + 7 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 6}{2} = 1$, $x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = 7$.

2. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

3. Так как ветви параболы направлены вверх, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями и отрицательные значения внутри этого интервала.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (7; \infty)$; $y < 0$ при $x \in (1; 7)$.

б) $y = -2x^2 + 5x - 2$

1. Найдем нули функции: $-2x^2 + 5x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-2) = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-8}{-4} = 2$, $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$.

2. Коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Так как ветви параболы направлены вниз, функция положительна между корнями ($x_1=1/2$, $x_2=2$) и отрицательна вне этого интервала.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (\frac{1}{2}; 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (2; \infty)$.

в) $y = x^2 + 8x + 16$

1. Найдем нули функции: $x^2 + 8x + 16 = 0$.

Это выражение является полным квадратом: $(x+4)^2 = 0$.

Уравнение имеет один корень (кратности 2): $x = -4$.

2. Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Парабола касается оси Ox в точке $x = -4$ (это вершина параболы) и целиком лежит в верхней полуплоскости. Следовательно, функция положительна при всех $x$, кроме $x = -4$, где она равна нулю.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; \infty)$; промежутков, где $y < 0$, нет.

г) $y = -3x^2 + x - 5$

1. Найдем нули функции: $-3x^2 + x - 5 = 0$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-5) = 1 - 60 = -59$.

Поскольку $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

2. Коэффициент $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Так как парабола не пересекает ось Ox и ее ветви направлены вниз, она полностью расположена ниже оси Ox. Значит, функция отрицательна при всех действительных значениях $x$.

Ответ: $y < 0$ при $x \in (-\infty; \infty)$; промежутков, где $y > 0$, нет.

д) $y = -9x^2 - 6x - 1$

1. Найдем нули функции: $-9x^2 - 6x - 1 = 0$. Умножим на -1: $9x^2 + 6x + 1 = 0$.

Это выражение является полным квадратом: $(3x+1)^2 = 0$.

Уравнение имеет один корень: $x = -\frac{1}{3}$.

2. Коэффициент $a = -9 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Парабола касается оси Ox в точке $x = -\frac{1}{3}$ и целиком лежит в нижней полуплоскости. Следовательно, функция отрицательна при всех $x$, кроме $x = -\frac{1}{3}$, где она равна нулю.

Ответ: $y < 0$ при $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}; \infty)$; промежутков, где $y > 0$, нет.

е) $y = 2x^2 + 9$

1. Найдем нули функции: $2x^2 + 9 = 0$.

$2x^2 = -9$, $x^2 = -4.5$. Уравнение не имеет действительных корней.

2. Коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Так как парабола не пересекает ось Ox (вершина находится в точке $(0, 9)$) и ее ветви направлены вверх, она полностью расположена выше оси Ox. Значит, функция положительна при всех действительных значениях $x$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; \infty)$; промежутков, где $y < 0$, нет.