Номер 3.94, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.94. Дана функция $f(x) = (x + 6)^2 - 8$. Не выполняя вычислений, сравните:

а) $f(3)$ и $f(5,2)$;

б) $f(-9)$ и $f(-7)$;

в) $f(-5,23)$ и $f(-4,72)$;

г) $f(-\sqrt{65})$ и $f(-\sqrt{45})$.

Для сравнения значений функции $f(x) = (x+6)^2 - 8$ без непосредственных вычислений, проанализируем её свойства.

Графиком данной квадратичной функции является парабола. Уравнение представлено в виде $f(x) = a(x-h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины. В нашем случае вершина находится в точке $(-6, -8)$, а коэффициент $a=1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Это означает, что:

• Функция убывает на промежутке $(-\infty, -6]$.
• Функция возрастает на промежутке $[-6, +\infty)$.
• В точке $x=-6$ функция достигает своего минимума.

Таким образом, для сравнения значений функции в двух точках достаточно определить, на каком из промежутков (возрастания или убывания) они находятся.

а) $f(3)$ и $f(5,2)$;

Аргументы $x_1=3$ и $x_2=5,2$ оба больше $-6$, следовательно, они принадлежат промежутку возрастания функции $[-6, +\infty)$. На этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Так как $3 < 5,2$, то и $f(3) < f(5,2)$.

Ответ: $f(3) < f(5,2)$.

б) $f(-9)$ и $f(-7)$;

Аргументы $x_1=-9$ и $x_2=-7$ оба меньше $-6$, следовательно, они принадлежат промежутку убывания функции $(-\infty, -6]$. На этом промежутке большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Так как $-9 < -7$, то $f(-9) > f(-7)$.

Ответ: $f(-9) > f(-7)$.

в) $f(-5,23)$ и $f(-4,72)$;

Аргументы $x_1=-5,23$ и $x_2=-4,72$ оба больше $-6$, следовательно, они принадлежат промежутку возрастания функции $[-6, +\infty)$. Так как $-5,23 < -4,72$, то $f(-5,23) < f(-4,72)$.

Ответ: $f(-5,23) < f(-4,72)$.

г) $f(-\sqrt{65})$ и $f(-\sqrt{45})$.

Сравним аргументы $x_1 = -\sqrt{65}$ и $x_2 = -\sqrt{45}$ с абсциссой вершины $x=-6$. Поскольку $64 < 65$, то $\sqrt{64} < \sqrt{65}$, то есть $8 < \sqrt{65}$. Отсюда следует, что $-\sqrt{65} < -8 < -6$. Поскольку $36 < 45 < 49$, то $\sqrt{36} < \sqrt{45} < \sqrt{49}$, то есть $6 < \sqrt{45} < 7$. Отсюда следует, что $-7 < -\sqrt{45} < -6$. Оба аргумента принадлежат промежутку убывания функции $(-\infty, -6]$. Теперь сравним сами аргументы: так как $65 > 45$, то $\sqrt{65} > \sqrt{45}$, а значит $-\sqrt{65} < -\sqrt{45}$. Поскольку на промежутке убывания большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то из $-\sqrt{65} < -\sqrt{45}$ следует, что $f(-\sqrt{65}) > f(-\sqrt{45})$.

Ответ: $f(-\sqrt{65}) > f(-\sqrt{45})$.