Номер 3.101, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.101. Постройте график квадратичной функции $f(x) = 2x^2 + 6x$. Найдите:

а) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения;

б) промежуток возрастания функции;

в) множество значений функции;

г) все значения аргумента, для которых выполняется неравенство $f(x) \le 0$.

Для решения задачи проанализируем квадратичную функцию $f(x) = 2x^2 + 6x$. Графиком этой функции является парабола.

1. Направление ветвей и вершина параболы.

Коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля ($a=2 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$

Подставим $x_0$ в уравнение функции, чтобы найти $y_0$:

$y_0 = f(-1\frac{1}{2}) = 2 \cdot (-\frac{3}{2})^2 + 6 \cdot (-\frac{3}{2}) = 2 \cdot \frac{9}{4} - \frac{18}{2} = \frac{9}{2} - 9 = 4,5 - 9 = -4,5 = -4\frac{1}{2}$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1\frac{1}{2}; -4\frac{1}{2})$.

2. Точки пересечения с осями координат.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью Ox), решив уравнение $f(x) = 0$:

$2x^2 + 6x = 0$

$2x(x + 3) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.

Точка пересечения с осью Oy находится при $x=0$: $f(0) = 2 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 = 0$. Точка (0, 0).

На основе этих данных можно схематически построить график. Теперь ответим на вопросы.

а) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения:
Функция $f(x) > 0$ там, где ее график лежит выше оси Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, а нули функции равны -3 и 0, то функция положительна на интервалах левее -3 и правее 0. Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$.

б) промежуток возрастания функции:
Парабола с ветвями, направленными вверх, возрастает на промежутке от абсциссы вершины до $+\infty$. Абсцисса вершины $x_0 = -1\frac{1}{2}$. Ответ: $[-1\frac{1}{2}; +\infty)$.

в) множество значений функции:
Поскольку ветви параболы направлены вверх, ее наименьшее значение равно ординате вершины. Множество значений (или область значений) — это все числа от этого значения и выше. Ордината вершины $y_0 = -4\frac{1}{2}$. Ответ: $[-4\frac{1}{2}; +\infty)$.

г) все значения аргумента, для которых выполняется неравенство $f(x) \le 0$:
Функция принимает неположительные значения ($f(x) \le 0$) на отрезке между ее нулями (включая сами нули), так как на этом участке график находится на оси Ox или ниже нее. Ответ: $x \in [-3; 0]$.