Номер 3.104, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.104. Приведите пример квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$, которая возрастает на промежутке $[1; +\infty)$ и принимает положительные значения при всех значениях аргумента.

Для того, чтобы привести пример требуемой квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$, необходимо проанализировать условия, наложенные на нее, и перевести их в математические ограничения для коэффициентов $a, b, c$.

Анализ условия возрастания

Функция должна возрастать на промежутке $[1; +\infty)$. Графиком квадратичной функции является парабола. Чтобы функция возрастала на луче, идущем в $+\infty$, ветви параболы должны быть направлены вверх. Это означает, что коэффициент при $x^2$ должен быть положительным: $a > 0$.
Вершина параболы находится в точке $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Функция, у которой ветви направлены вверх, возрастает на промежутке $[x_0; +\infty)$. Согласно условию, этот промежуток должен содержать в себе $[1; +\infty)$, следовательно, вершина параболы должна находиться в точке $x_0 \le 1$.

Таким образом, имеем два условия: $a > 0$ и $-\frac{b}{2a} \le 1$.

Анализ условия положительности

Функция должна принимать положительные значения при всех значениях аргумента, то есть $f(x) > 0$ для любого $x$. Для параболы с ветвями вверх ($a > 0$) это возможно только в том случае, если она не пересекает и не касается оси абсцисс (Ox). Это равносильно тому, что соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Условием отсутствия действительных корней является отрицательный дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac < 0$$

Построение примера

Теперь подберем конкретные значения коэффициентов $a, b, c$, удовлетворяющие системе неравенств:

Для простоты выберем значения, которые обращают неравенство для вершины в равенство, то есть $x_0 = 1$.

• Пусть $a = 1$. Это удовлетворяет первому условию $a > 0$.
• Из условия для вершины $x_0 = -\frac{b}{2a} = 1$ получим: $$-\frac{b}{2 \cdot 1} = 1 \implies b = -2$$
• Теперь подставим найденные значения $a=1$ и $b=-2$ в неравенство для дискриминанта: $$(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c < 0$$ $$4 - 4c < 0$$ $$4 < 4c$$ $$c > 1$$
• Мы можем выбрать любое значение $c$, большее 1. Возьмем простейшее целое значение, например, $c = 2$.

Таким образом, мы получили функцию $f(x) = x^2 - 2x + 2$.

Проверка

Проверим, что найденная функция удовлетворяет всем условиям задачи:

• $f(x) = x^2 - 2x + 2$ является квадратичной.
• Коэффициент $a=1>0$. Вершина находится в $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.
• Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 < 0$. Так как $a>0$ и $D<0$, функция принимает только положительные значения при всех $x$.

Все условия выполнены.

Ответ: $f(x) = x^2 - 2x + 2$.