Номер 3.99, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.99. Приведите пример квадратичной функции, принимающей положительные значения только на:

a) промежутке $(-3; 3)$;

б) промежутке $(-1; 5)$;

в) промежутках $(-\infty; 1)$ и $(6; +\infty)$.

Для нахождения примеров квадратичных функций, удовлетворяющих заданным условиям, будем использовать их представление через корни: $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни функции (точки пересечения с осью абсцисс).

Знак квадратичной функции на различных промежутках определяется знаком старшего коэффициента $a$ (который также определяет направление ветвей параболы):

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх, и функция принимает положительные значения вне интервала между корнями.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз, и функция принимает положительные значения внутри интервала между корнями.

a) Требуется, чтобы функция была положительна только на промежутке $(-3; 3)$. Это означает, что числа $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$ являются корнями функции. Поскольку функция положительна между корнями, ветви параболы должны быть направлены вниз, что соответствует условию $a < 0$. Для примера выберем простейшее значение $a = -1$. Подставим значения в формулу: $y = -1 \cdot (x - (-3))(x - 3) = -(x+3)(x-3)$ Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов: $y = -(x^2 - 3^2) = -(x^2 - 9) = -x^2 + 9$.

а) промежутке (–3; 3) Ответ: $y = -x^2 + 9$

б) Требуется, чтобы функция была положительна только на промежутке $(-1; 5)$. Это означает, что корни функции — $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Так как функция положительна между корнями, ветви параболы направлены вниз, то есть $a < 0$. Снова выберем $a = -1$. Подставим значения в формулу: $y = -1 \cdot (x - (-1))(x - 5) = -(x+1)(x-5)$ Раскроем скобки: $y = -(x^2 - 5x + x - 5) = -(x^2 - 4x - 5) = -x^2 + 4x + 5$.

б) промежутке (–1; 5) Ответ: $y = -x^2 + 4x + 5$

в) Требуется, чтобы функция была положительна только на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(6; +\infty)$. Это означает, что корни функции — $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$. Поскольку функция положительна вне интервала между корнями, ветви параболы должны быть направлены вверх, что соответствует условию $a > 0$. Для примера выберем простейшее значение $a = 1$. Подставим значения в формулу: $y = 1 \cdot (x - 1)(x - 6) = (x-1)(x-6)$ Раскроем скобки: $y = x^2 - 6x - x + 6 = x^2 - 7x + 6$.

в) промежутках (–∞; 1) и (6; +∞) Ответ: $y = x^2 - 7x + 6$