Номер 3.103, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.103. Постройте график квадратичной функции $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4$ и назовите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) наименьшее значение функции;

г) уравнение оси симметрии параболы;

д) нули функции;

е) промежутки знакопостоянства функции;

ж) промежутки монотонности функции.

Для построения графика и анализа квадратичной функции $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4$, выполним следующие шаги:

1. Определение основных параметров параболы

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение вершины параболы

Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 3$

Подставляем $x_0 = 3$ в уравнение функции, чтобы найти $y_0$:

$y_0 = \frac{1}{2}(3)^2 - 3(3) + 4 = \frac{1}{2} \cdot 9 - 9 + 4 = 4.5 - 5 = -0.5$

Вершина параболы находится в точке $(3; -0.5)$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат

• Пересечение с осью OY:
  Для этого полагаем $x = 0$:
  $y = \frac{1}{2}(0)^2 - 3(0) + 4 = 4$
  Точка пересечения с OY: $(0; 4)$.
• Пересечение с осью OX (нули функции):
  Для этого полагаем $y = 0$:
  $\frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 = 0$
  Умножим обе части на 2 для удобства:
  $x^2 - 6x + 8 = 0$
  Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
  Точки пересечения с OX: $(2; 0)$ и $(4; 0)$.

4. Построение графика

Для построения графика используем найденные точки: вершину $(3; -0.5)$, точки пересечения с осями $(0; 4)$, $(2; 0)$, $(4; 0)$. Также можно найти симметричную точке $(0; 4)$ относительно оси симметрии $x=3$. Эта точка будет иметь координаты $(6; 4)$.

На основе этих данных можно построить точный график параболы.

Теперь ответим на поставленные вопросы:

а) область определения функции; Ответ: Областью определения любой квадратичной функции является множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) множество значений функции; Ответ: Так как ветви параболы направлены вверх, множество значений функции ограничено снизу ординатой вершины $y_0 = -0.5$. Таким образом, $E(y) = [-0.5; +\infty)$.

в) наименьшее значение функции; Ответ: Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы и равно $y_{min} = -0.5$.

г) уравнение оси симметрии параболы; Ответ: Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси: $x = 3$.

д) нули функции; Ответ: Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Мы их нашли ранее: $x = 2$ и $x = 4$.

е) промежутки знакопостоянства функции; Ответ:

• Функция положительна ($y > 0$), когда ее график находится выше оси OX: при $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$.
• Функция отрицательна ($y < 0$), когда ее график находится ниже оси OX: при $x \in (2; 4)$.

ж) промежутки монотонности функции. Ответ:

• Функция убывает на промежутке от $-\infty$ до абсциссы вершины: $(-\infty; 3]$.
• Функция возрастает на промежутке от абсциссы вершины до $+\infty$: $[3; +\infty)$.