Номер 3.102, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.102. На рисунке 77 изображен график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Запишите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) наименьшее значение функции;

г) уравнение оси симметрии параболы;

д) нули функции;

е) промежутки знакопостоянства функции;

ж) промежутки монотонности функции.

Рис. 77

Для решения задачи проанализируем график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, представленный на рисунке.

Из графика можно определить ключевые характеристики параболы:

• Ветви параболы направлены вверх, что означает $a > 0$.
• Вершина параболы находится в точке с координатами $(-2, -4)$.
• Парабола пересекает ось абсцисс (ось Ox) в точках $x = -4$ и $x = 0$.
• Парабола пересекает ось ординат (ось Oy) в точке $y = 0$.

Используя эту информацию, ответим на поставленные вопросы.

а) область определения функции:
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Для любой квадратичной функции, представленной в виде многочлена, область определения включает все действительные числа, так как для любого $x$ можно вычислить значение $y$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) множество значений функции:
Множество значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, её значение ограничено снизу ординатой вершины. Вершина находится в точке $(-2, -4)$, следовательно, самое низкое значение функции равно -4. Функция принимает все значения от -4 включительно и до бесконечности.
Ответ: $E(y) = [-4; +\infty)$.

в) наименьшее значение функции:
Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Ордината (координата по оси y) вершины параболы и есть её наименьшее значение. Из графика определяем, что ордината вершины равна -4.
Ответ: $y_{наим} = -4$.

г) уравнение оси симметрии параболы:
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, которая проходит через её вершину и делит график на две симметричные части. Уравнение такой прямой имеет вид $x = x_0$, где $x_0$ — абсцисса вершины. Абсцисса вершины данной параболы равна -2.
Ответ: $x = -2$.

д) нули функции:
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Графически это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox. Из графика видно, что парабола пересекает ось Ox в точках, где $x = -4$ и $x = 0$.
Ответ: $x = -4, x = 0$.

е) промежутки знакопостоянства функции:
Промежутки знакопостоянства — это интервалы оси Ox, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.

• Функция положительна ($y > 0$), когда её график находится выше оси Ox. Это происходит при $x < -4$ и при $x > 0$.
• Функция отрицательна ($y < 0$), когда её график находится ниже оси Ox. Это происходит при $-4 < x < 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-4; 0)$.

ж) промежутки монотонности функции:
Промежутки монотонности — это интервалы, на которых функция непрерывно возрастает или убывает. Точкой, разделяющей эти промежутки, является вершина параболы, абсцисса которой $x = -2$.

• Функция убывает (график идет вниз при движении слева направо) на промежутке от $-\infty$ до абсциссы вершины.
• Функция возрастает (график идет вверх при движении слева направо) на промежутке от абсциссы вершины до $+\infty$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$ и возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$.