Номер 3.107, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.107. Известно, что ветви параболы $y = ax^2 + bx + c$ направлены вниз, а нулями функции являются числа 8 и 32.Найдите промежутки:

а) знакопостоянства функции;

б) монотонности функции.

Дана квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$. Из условия задачи известно:

1. Ветви параболы направлены вниз. Это означает, что старший коэффициент $a < 0$.
2. Нулями функции являются числа 8 и 32. Это означает, что парабола пересекает ось абсцисс (ось Ox) в точках $x_1 = 8$ и $x_2 = 32$.

На основе этих данных найдем требуемые промежутки.

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения. Поскольку ветви параболы направлены вниз, её график находится выше оси Ox между корнями и ниже оси Ox за пределами интервала между корнями.

• Функция положительна ($y > 0$) на интервале между нулями: $(8; 32)$.
• Функция отрицательна ($y < 0$) на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня: $(-\infty; 8)$ и $(32; \infty)$.

Ответ: функция положительна на промежутке $(8; 32)$; функция отрицательна на промежутках $(-\infty; 8) \cup (32; \infty)$.

Промежутки монотонности (возрастания и убывания) параболы определяются её вершиной. Абсцисса вершины $x_v$ является точкой, где возрастание сменяется убыванием (или наоборот). Для параболы, абсцисса вершины находится ровно посередине между её нулями.
Найдем абсциссу вершины:
$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{8 + 32}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
Так как ветви параболы направлены вниз ($a < 0$), функция возрастает до вершины и убывает после неё.

• Промежуток возрастания: $(-\infty; 20]$.
• Промежуток убывания: $[20; \infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 20]$; функция убывает на промежутке $[20; \infty)$.