Номер 3.105, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.105. Постройте график квадратичной функции $y = -2(x + 1)^2 + 8$ и назовите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) наибольшее значение функции;

г) уравнение оси симметрии параболы;

д) нули функции;

е) промежутки знакопостоянства функции;

ж) промежутки монотонности функции.

Для построения графика квадратичной функции $y = -2(x + 1)^2 + 8$ проанализируем её уравнение. Это уравнение параболы в вершинной форме $y = a(x-h)^2+k$.

1. Вершина параболы: Из уравнения видно, что $a = -2$, $h = -1$, $k = 8$. Следовательно, координаты вершины находятся в точке $(-1, 8)$.
2. Направление ветвей: Так как коэффициент $a = -2$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз.
3. Нули функции (точки пересечения с осью абсцисс): Найдем значения $x$, при которых $y=0$.
   $0 = -2(x + 1)^2 + 8$
   $2(x + 1)^2 = 8$
   $(x + 1)^2 = 4$
   $x + 1 = \pm\sqrt{4}$
   $x + 1 = 2$ или $x + 1 = -2$
   $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.
4. Точка пересечения с осью ординат: Найдем значение $y$, при котором $x=0$.
   $y = -2(0 + 1)^2 + 8 = -2 \cdot 1 + 8 = 6$.
   Точка пересечения с осью Oy: $(0, 6)$.

На основе этих ключевых точек (вершина $(-1, 8)$, нули $(-3, 0)$ и $(1, 0)$, точка пересечения с OY $(0, 6)$) можно построить график. График представляет собой параболу, симметричную относительно прямой $x=-1$.

На основе анализа функции и её графика ответим на вопросы:

а) область определения функции; Ответ: Квадратичная функция определена для любых действительных значений аргумента. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) множество значений функции; Ответ: Поскольку ветви параболы направлены вниз, а её вершина находится в точке $(-1, 8)$, функция принимает все значения от $-\infty$ до $8$ включительно. $E(y) = (-\infty; 8]$.

в) наибольшее значение функции; Ответ: Наибольшее значение функции достигается в её вершине и равно ординате вершины, то есть $y_{max} = 8$.

г) уравнение оси симметрии параболы; Ответ: Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через её вершину. Уравнение оси симметрии: $x = -1$.

д) нули функции; Ответ: Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Из расчетов выше, нули функции: $x = -3$ и $x = 1$.

е) промежутки знакопостоянства функции; Ответ:

• Функция положительна ($y > 0$) на интервале между корнями: $x \in (-3; 1)$.
• Функция отрицательна ($y < 0$) на двух интервалах вне корней: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

ж) промежутки монотонности функции. Ответ:

• Функция возрастает на промежутке слева от вершины (до $x=-1$): $(-\infty; -1]$.
• Функция убывает на промежутке справа от вершины (после $x=-1$): $[-1; +\infty)$.