Номер 3.106, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.106. Приведите пример квадратичной функции $g(x) = ax^2 + bx + c$, которая имеет наименьшее значение в точке $A(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})$ и принимает отрицательные значения на промежутке $(-3; 4)$.

Для нахождения примера квадратичной функции $g(x) = ax^2 + bx + c$ воспользуемся заданными условиями.

1. Использование информации о наименьшем значении функции.

Наименьшее значение квадратичная функция принимает в вершине параболы. По условию, это точка $A(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})$. Это означает, что координаты вершины параболы $(x_v, y_v) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$. Поскольку в этой точке функция имеет наименьшее значение, ветви параболы направлены вверх, и, следовательно, старший коэффициент $a > 0$.

Удобно использовать канонический вид квадратичной функции, заданной через координаты её вершины:

$g(x) = a(x - x_v)^2 + y_v$

Подставим известные координаты вершины в это уравнение:

$g(x) = a(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}$

2. Использование информации о промежутке отрицательных значений.

По условию, функция принимает отрицательные значения на промежутке $(-3; 4)$. Это означает, что для любого $x$ из этого интервала выполняется неравенство $g(x) < 0$.

Вершина параболы $x_v = \frac{1}{2}$ находится внутри этого промежутка, и значение в ней $g(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$ отрицательно, что соответствует условию.

Чтобы функция была отрицательной на всем интервале $(-3; 4)$, значения на концах этого интервала должны быть меньше либо равны нулю. То есть, должны выполняться условия $g(-3) \le 0$ и $g(4) \le 0$.

Так как ось симметрии параболы $x = \frac{1}{2}$ является центром симметрии для интервала $(-3, 4)$, поскольку $\frac{-3+4}{2} = \frac{1}{2}$, значения функции на концах этого интервала будут одинаковы: $g(-3) = g(4)$. Поэтому достаточно проверить выполнение одного из условий, например $g(4) \le 0$.

3. Нахождение коэффициента $a$.

Подставим $x = 4$ в уравнение функции и решим полученное неравенство относительно $a$:

$g(4) = a(4 - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} \le 0$

$a(\frac{7}{2})^2 - \frac{1}{2} \le 0$

$a \cdot \frac{49}{4} - \frac{1}{2} \le 0$

$a \cdot \frac{49}{4} \le \frac{1}{2}$

$a \le \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{49}$

$a \le \frac{2}{49}$

Таким образом, мы имеем систему ограничений для коэффициента $a$: $\begin{cases} a > 0 \\ a \le \frac{2}{49} \end{cases}$. Это означает, что мы можем выбрать любое значение $a$ из промежутка $(0; \frac{2}{49}]$.

4. Построение итоговой функции.

Для примера выберем крайнее возможное значение $a = \frac{2}{49}$.

Подставим это значение в каноническое уравнение функции:

$g(x) = \frac{2}{49}(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}$

Теперь приведем ее к стандартному виду $g(x) = ax^2 + bx + c$, раскрыв скобки:

$g(x) = \frac{2}{49}(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - \frac{1}{2}$

$g(x) = \frac{2}{49}(x^2 - x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{2}$

$g(x) = \frac{2}{49}x^2 - \frac{2}{49}x + \frac{2}{49} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

$g(x) = \frac{2}{49}x^2 - \frac{2}{49}x + \frac{2}{196} - \frac{1}{2}$

$g(x) = \frac{2}{49}x^2 - \frac{2}{49}x + \frac{1}{98} - \frac{49}{98}$

$g(x) = \frac{2}{49}x^2 - \frac{2}{49}x - \frac{48}{98}$

Сократив последнюю дробь, получаем окончательный вид функции:

$g(x) = \frac{2}{49}x^2 - \frac{2}{49}x - \frac{24}{49}$

Ответ: одним из возможных примеров искомой функции является $g(x) = \frac{2}{49}x^2 - \frac{2}{49}x - \frac{24}{49}$.