Номер 3.113, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.113. При каком значении числа $a$ одна из точек пересечения параболы $y = x^2 + (a - 4)x + a - 4$ с осью абсцисс лежит правее начала координат, а другая — левее?

Для того чтобы точки пересечения параболы $y = x^2 + (a - 4)x + a - 4$ с осью абсцисс ($y=0$) лежали по разные стороны от начала координат ($x=0$), необходимо и достаточно, чтобы корни $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $x^2 + (a - 4)x + a - 4 = 0$ имели разные знаки.

Это означает, что один корень должен быть положительным, а другой — отрицательным. Такое условие выполняется, когда произведение корней отрицательно: $x_1 \cdot x_2 < 0$.

Согласно теореме Виета, для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ произведение корней равно свободному члену $q$.

В нашем уравнении $x^2 + (a - 4)x + (a - 4) = 0$ свободный член $q$ равен $(a - 4)$.

Следовательно, условие $x_1 \cdot x_2 < 0$ преобразуется в неравенство:

$a - 4 < 0$

Решая это простое линейное неравенство, получаем:

$a < 4$

Это условие является достаточным, так как если оно выполнено, то дискриминант $D$ уравнения заведомо будет положительным, что гарантирует наличие двух различных действительных корней.

Проверка дискриминанта:

$D = (a - 4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 4) = (a - 4)(a - 4 - 4) = (a - 4)(a - 8)$

Если $a < 4$, то множитель $(a - 4)$ отрицателен, и множитель $(a - 8)$ также отрицателен (так как $a - 8 < 4 - 8 = -4$). Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно, следовательно, $D > 0$ при $a < 4$.

При каком значении числа a одна из точек пересечения параболы $y = x^2 + (a - 4)x + a - 4$ с осью абсцисс лежит правее начала координат, а другая — левее? Ответ: $a < 4$.