Номер 3.116, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.116. Постройте график квадратичной функции и найдите ее промежутки монотонности:

а) $y = x^2 - 6x + 5;$

б) $y = -2(x + 3)^2 + 8;$

в) $y = (x - 3)(x + 1);$

г) $y = -x^2 + 4x.$

Для построения графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ и нахождения промежутков монотонности необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Ордината $y_0$ находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции. Если функция задана в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, то координаты вершины уже известны.
2. Определить направление ветвей параболы. Если коэффициент $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз.
3. Определить промежутки монотонности.
   • Если ветви направлены вверх ($a > 0$), функция убывает на промежутке $(-\infty; x_0]$ и возрастает на промежутке $[x_0; \infty)$.
   • Если ветви направлены вниз ($a < 0$), функция возрастает на промежутке $(-\infty; x_0]$ и убывает на промежутке $[x_0; \infty)$.
4. Для более точного построения графика найти точки пересечения с осями координат: с осью Oy (при $x=0$) и с осью Ox (при $y=0$).

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$.

1. Найдем координаты вершины.
   Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
   Ордината вершины: $y_0 = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.
   Вершина параболы находится в точке $(3; -4)$.
2. Коэффициент $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
3. Для построения графика найдем точки пересечения с осями:
   С осью Oy: при $x = 0 \Rightarrow y = 5$. Точка $(0; 5)$.
   С осью Ox: при $y = 0 \Rightarrow x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$. Точки $(1; 0)$ и $(5; 0)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, а вершина находится в точке $x=3$, функция убывает на промежутке до вершины и возрастает после нее.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$ и возрастает на промежутке $[3; \infty)$.

Функция задана в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, что позволяет сразу определить координаты вершины.

1. Перепишем уравнение в виде $y = -2(x - (-3))^2 + 8$.
   Вершина параболы находится в точке $(-3; 8)$.
2. Коэффициент $a = -2 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
3. Для построения графика найдем точки пересечения с осями:
   С осью Oy: при $x = 0 \Rightarrow y = -2(0+3)^2 + 8 = -2 \cdot 9 + 8 = -18 + 8 = -10$. Точка $(0; -10)$.
   С осью Ox: при $y = 0 \Rightarrow -2(x+3)^2 + 8 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4 \Rightarrow x+3 = \pm 2$.
   $x_1 = -3 - 2 = -5$, $x_2 = -3 + 2 = -1$. Точки $(-5; 0)$ и $(-1; 0)$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, а вершина находится в точке $x=-3$, функция возрастает на промежутке до вершины и убывает после нее.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -3]$ и убывает на промежутке $[-3; \infty)$.

Это квадратичная функция. Для нахождения вершины приведем ее к стандартному виду: $y = x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 2x - 3$. Коэффициенты: $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$.

1. Найдем координаты вершины.
   Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
   Ордината вершины: $y_0 = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
   Вершина параболы находится в точке $(1; -4)$. (Также абсциссу вершины можно найти как середину между корнями, которые видны из исходной записи $x=3$ и $x=-1$: $x_0 = \frac{3 + (-1)}{2} = 1$).
2. Коэффициент $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
3. Точки пересечения с осями:
   С осью Oy: при $x = 0 \Rightarrow y = (0-3)(0+1) = -3$. Точка $(0; -3)$.
   С осью Ox: из записи $y = (x-3)(x+1)$ видно, что при $y = 0$ корни $x_1 = 3$, $x_2 = -1$. Точки $(3; 0)$ и $(-1; 0)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, а вершина находится в точке $x=1$, функция убывает на промежутке до вершины и возрастает после нее.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; \infty)$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = -1$, $b = 4$, $c = 0$.

1. Найдем координаты вершины.
   Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.
   Ордината вершины: $y_0 = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4$.
   Вершина параболы находится в точке $(2; 4)$.
2. Коэффициент $a = -1 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
3. Найдем точки пересечения с осями:
   С осью Oy: при $x = 0 \Rightarrow y = 0$. Точка $(0; 0)$.
   С осью Ox: при $y = 0 \Rightarrow -x^2 + 4x = 0 \Rightarrow -x(x-4)=0$. Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Точки $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, а вершина находится в точке $x=2$, функция возрастает на промежутке до вершины и убывает после нее.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$ и убывает на промежутке $[2; \infty)$.