Номер 3.122, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.122. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

a) $y = x^2 + 2x - 8$;

б) $y = -3x^2 + 10x - 3$;

в) $y = x^2 - 4x + 4$;

г) $y = -2x^2 + 3x - 7$.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства для каждой функции, необходимо определить, на каких интервалах функция принимает положительные значения ($y > 0$), а на каких — отрицательные ($y < 0$). Для квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ эти промежутки определяются нулями функции (точками пересечения с осью Ox) и направлением ветвей параболы (которое зависит от знака коэффициента $a$).

а) $y = x^2 + 2x - 8$

1. Найдём нули функции, решив квадратное уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$

2. Определим направление ветвей параболы.
Коэффициент $a = 1$, что больше нуля ($a > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх.

3. Определим промежутки знакопостоянства.
Парабола с ветвями вверх пересекает ось Ox в точках -4 и 2. Следовательно, функция положительна вне интервала между корнями и отрицательна внутри этого интервала.

• $y > 0$ при $x \in (-\infty; -4) \cup (2; \infty)$
• $y < 0$ при $x \in (-4; 2)$

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -4) \cup (2; \infty)$; $y < 0$ при $x \in (-4; 2)$.

б) $y = -3x^2 + 10x - 3$

1. Найдём нули функции, решив уравнение $-3x^2 + 10x - 3 = 0$.
Для удобства умножим обе части на -1: $3x^2 - 10x + 3 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

2. Определим направление ветвей параболы.
Коэффициент $a = -3$, что меньше нуля ($a < 0$), значит, ветви параболы направлены вниз.

3. Определим промежутки знакопостоянства.
Парабола с ветвями вниз пересекает ось Ox в точках $1/3$ и 3. Следовательно, функция положительна на интервале между корнями и отрицательна вне этого интервала.

• $y > 0$ при $x \in (\frac{1}{3}; 3)$
• $y < 0$ при $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (3; \infty)$

Ответ: $y > 0$ при $x \in (\frac{1}{3}; 3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (3; \infty)$.

в) $y = x^2 - 4x + 4$

1. Найдём нули функции, решив уравнение $x^2 - 4x + 4 = 0$.
Можно заметить, что левая часть является полным квадратом: $(x-2)^2 = 0$.
Уравнение имеет один корень (вершина параболы касается оси Ox): $x = 2$.
(Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$)

2. Определим направление ветвей параболы.
Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Определим промежутки знакопостоянства.
Парабола с ветвями вверх касается оси Ox в точке $x = 2$. Это означает, что функция принимает значение 0 в точке $x=2$ и положительные значения при всех остальных значениях $x$. Отрицательных значений функция не принимает.

• $y > 0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (2; \infty)$
• $y < 0$ — таких значений $x$ нет.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (2; \infty)$; промежутков, где $y < 0$, не существует.

г) $y = -2x^2 + 3x - 7$

1. Попытаемся найти нули функции, решив уравнение $-2x^2 + 3x - 7 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-7) = 9 - 56 = -47$.
Так как $D < 0$, действительных корней у уравнения нет. Это значит, что парабола не пересекает ось Ox.

2. Определим направление ветвей параболы.
Коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Определим промежутки знакопостоянства.
Парабола с ветвями вниз не пересекает ось Ox. Это означает, что вся парабола находится ниже оси Ox, и, следовательно, функция принимает только отрицательные значения при любых $x$.

• $y < 0$ при $x \in (-\infty; \infty)$
• $y > 0$ — таких значений $x$ нет.

Ответ: $y < 0$ при $x \in (-\infty; \infty)$; промежутков, где $y > 0$, не существует.