Номер 3.127, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.127. Постройте график квадратичной функции $y = -(x - 5)^2 + 1$ и назовите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) наибольшее значение функции;

г) уравнение оси симметрии параболы;

д) нули функции;

е) промежутки знакопостоянства функции;

ж) промежутки монотонности функции.

Данная функция $y = -(x - 5)^2 + 1$ — это квадратичная функция, график которой — парабола. Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, что позволяет легко определить ключевые свойства графика.

Построение графика:

1. Определение вершины и направления ветвей.
   Из уравнения $y = -(x - 5)^2 + 1$ видно, что:
   • Коэффициент $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
   • Координаты вершины $(h; k)$ равны $(5; 1)$.
2. Нахождение точек пересечения с осями координат.
   • С осью ординат (OY): подставим $x=0$.
     $y = -(0 - 5)^2 + 1 = -(-5)^2 + 1 = -25 + 1 = -24$.
     Точка пересечения с осью OY: $(0; -24)$.
   • С осью абсцисс (OX), или нули функции: подставим $y=0$.
     $0 = -(x - 5)^2 + 1$
     $(x - 5)^2 = 1$
     $x - 5 = 1$ или $x - 5 = -1$
     $x_1 = 6$, $x_2 = 4$.
     Точки пересечения с осью OX: $(4; 0)$ и $(6; 0)$.
3. Построение.
   Отмечаем на координатной плоскости вершину $(5; 1)$, точки пересечения с осью OX $(4; 0)$ и $(6; 0)$. Проводим через них параболу с ветвями, направленными вниз. Для большей точности можно использовать точку $(0; -24)$ и симметричную ей относительно оси симметрии $x=5$ точку $(10; -24)$.

На основе анализа и построенного графика ответим на вопросы:

а) область определения функции: Квадратичная функция определена для всех действительных значений $x$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) множество значений функции: Так как ветви параболы направлены вниз, её вершина $(5; 1)$ является точкой максимума. Следовательно, функция принимает значения от $-\infty$ до $1$ включительно.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 1]$.

в) наибольшее значение функции: Наибольшее значение функции равно ординате её вершины.
Ответ: $y_{наиб} = 1$.

г) уравнение оси симметрии параболы: Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через её вершину $x=h$.
Ответ: $x = 5$.

д) нули функции: Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Мы нашли их при поиске точек пересечения с осью OX.
Ответ: $x=4$, $x=6$.

е) промежутки знакопостоянства функции:

• Функция положительна ($y>0$), когда её график находится выше оси OX. Это происходит между нулями функции.
• Функция отрицательна ($y<0$), когда её график находится ниже оси OX. Это происходит левее и правее нулей функции.

Ответ: $y>0$ при $x \in (4; 6)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 4) \cup (6; +\infty)$.

ж) промежутки монотонности функции: Вершина параболы находится в точке $x=5$. Так как ветви направлены вниз, функция возрастает до вершины и убывает после неё.

• Функция возрастает на промежутке от $-\infty$ до абсциссы вершины.
• Функция убывает на промежутке от абсциссы вершины до $+\infty$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 5]$ и убывает на промежутке $[5; +\infty)$.