Номер 3.131, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.131. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $ \frac{14}{\sqrt{7}} $;

б) $ \frac{11}{5-\sqrt{3}} $.

a) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{14}{\sqrt{7}}$, необходимо умножить и числитель, и знаменатель этой дроби на $\sqrt{7}$.

$\frac{14}{\sqrt{7}} = \frac{14 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{14\sqrt{7}}{(\sqrt{7})^2} = \frac{14\sqrt{7}}{7}$

Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:

$\frac{14\sqrt{7}}{7} = 2\sqrt{7}$

Ответ: 2$\sqrt{7}$

б) В знаменателе дроби $\frac{11}{5-\sqrt{3}}$ находится выражение вида $a-b$. Чтобы избавиться от иррациональности, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение, то есть на $5+\sqrt{3}$. При умножении знаменателя на сопряженное выражение воспользуемся формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$\frac{11}{5-\sqrt{3}} = \frac{11 \cdot (5+\sqrt{3})}{(5-\sqrt{3}) \cdot (5+\sqrt{3})} = \frac{11(5+\sqrt{3})}{5^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{11(5+\sqrt{3})}{25-3} = \frac{11(5+\sqrt{3})}{22}$

Сократим полученную дробь на 11:

$\frac{11(5+\sqrt{3})}{22} = \frac{5+\sqrt{3}}{2}$

Чтобы выделить целую часть, представим дробь в виде суммы:

$\frac{5+\sqrt{3}}{2} = \frac{4+1+\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1+\sqrt{3}}{2} = 2 + \frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Ответ: 2$ + \frac{1+\sqrt{3}}{2}$