Номер 3.137, страница 195 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.137. Пользуясь определением квадратного неравенства, из данных неравенств выберите квадратные:

а) $8x^2 + 5x - 4 \le 0;$

б) $-3x^2 + 9x - 1 > 0;$

в) $x^2 + 7 \ge 0;$

г) $6x + 25 \le 0;$

д) $-10x^2 + 7x < 0;$

е) $18 - x > 0.$

Приведите по два примера строгих и нестрогих квадратных неравенств.

Квадратным неравенством называется неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \geq 0$ или $ax^2 + bx + c \leq 0$, где $x$ — переменная, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа, причем коэффициент при старшей степени $a \neq 0$.

Проанализируем каждое из предложенных неравенств на соответствие этому определению.

а) $8x^2 + 5x - 4 \leq 0$
Это неравенство содержит переменную $x$ во второй степени. Коэффициент при $x^2$ равен $8$, то есть $a=8 \neq 0$. Следовательно, данное неравенство является квадратным.
Ответ: является квадратным.

б) $-3x^2 + 9x - 1 > 0$
Это неравенство содержит переменную $x$ во второй степени. Коэффициент при $x^2$ равен $-3$, то есть $a=-3 \neq 0$. Следовательно, данное неравенство является квадратным.
Ответ: является квадратным.

в) $x^2 + 7 \geq 0$
Это неравенство содержит переменную $x$ во второй степени. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, то есть $a=1 \neq 0$. Коэффициент при $x$ в первой степени равен $0$ ($b=0$), что допустимо. Следовательно, данное неравенство является квадратным.
Ответ: является квадратным.

г) $6x + 25 \leq 0$
В этом неравенстве старшая степень переменной $x$ равна $1$. Коэффициент при $x^2$ равен $0$ ($a=0$). Следовательно, это неравенство является линейным, а не квадратным.
Ответ: не является квадратным.

д) $-10x^2 + 7x < 0$
Это неравенство содержит переменную $x$ во второй степени. Коэффициент при $x^2$ равен $-10$, то есть $a=-10 \neq 0$. Свободный член равен $0$ ($c=0$), что допустимо. Следовательно, данное неравенство является квадратным.
Ответ: является квадратным.

е) $18 - x > 0$
В этом неравенстве старшая степень переменной $x$ равна $1$. Коэффициент при $x^2$ равен $0$ ($a=0$). Следовательно, это неравенство является линейным, а не квадратным.
Ответ: не является квадратным.

Таким образом, квадратными являются неравенства: а), б), в), д).

Далее приведем примеры строгих и нестрогих квадратных неравенств.

Два примера строгих квадратных неравенств:
Строгие неравенства используют знаки $>$ или $<$.
1. $x^2 - 25 > 0$
2. $-5x^2 + 2x - 1 < 0$
Ответ: $x^2 - 25 > 0$ и $-5x^2 + 2x - 1 < 0$.

Два примера нестрогих квадратных неравенств:
Нестрогие неравенства используют знаки $\geq$ или $\leq$.
1. $4x^2 - 9x \geq 0$
2. $x^2 + 12x + 36 \leq 0$
Ответ: $4x^2 - 9x \geq 0$ и $x^2 + 12x + 36 \leq 0$.