Номер 3.130, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.130. Найдите значение выражения:

a) $\frac{5^{13} \cdot (5^{10})^2}{5^{31}}$;

б) $\frac{12^8}{27^2 \cdot 2^{15}}$

а) Для нахождения значения выражения $\frac{5^{13} \cdot (5^{10})^2}{5^{31}}$ воспользуемся свойствами степеней:

• При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
• При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
• При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

1. Упростим числитель. Сначала возведем степень в степень:

$(5^{10})^2 = 5^{10 \cdot 2} = 5^{20}$

2. Теперь выполним умножение в числителе:

$5^{13} \cdot 5^{20} = 5^{13+20} = 5^{33}$

3. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь и выполним деление:

$\frac{5^{33}}{5^{31}} = 5^{33-31} = 5^2 = 25$

Ответ: 25

б) Для нахождения значения выражения $\frac{12^8}{27^2 \cdot 2^{15}}$ разложим основания 12 и 27 на простые множители.

• $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
• $27 = 3^3$

1. Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$\frac{12^8}{27^2 \cdot 2^{15}} = \frac{(2^2 \cdot 3)^8}{(3^3)^2 \cdot 2^{15}}$

2. Применим свойства степеней для дальнейшего упрощения:

$\frac{(2^2)^8 \cdot 3^8}{3^{3 \cdot 2} \cdot 2^{15}} = \frac{2^{2 \cdot 8} \cdot 3^8}{3^6 \cdot 2^{15}} = \frac{2^{16} \cdot 3^8}{3^6 \cdot 2^{15}}$

3. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и выполним деление:

$\frac{2^{16}}{2^{15}} \cdot \frac{3^8}{3^6} = 2^{16-15} \cdot 3^{8-6} = 2^1 \cdot 3^2$

4. Вычислим результат:

$2 \cdot 9 = 18$

Ответ: 18