Номер 3.125, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.125. Постройте график квадратичной функции $y = -x^2 + 2x$. Найдите:

а) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения;

б) промежуток, на котором функция возрастает.

Для построения графика квадратичной функции $y = -x^2 + 2x$ и нахождения требуемых значений, выполним следующие шаги:

1. Определение свойств параболы.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Общий вид функции $y = ax^2 + bx + c$. В нашем случае $a = -1$, $b = 2$, $c = 0$. Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение вершины параболы.

Координаты вершины $(x_в; y_в)$ находятся по формулам:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$

Подставим $x_в = 1$ в уравнение функции, чтобы найти $y_в$:

$y_в = -(1)^2 + 2 \cdot 1 = -1 + 2 = 1$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. Это точка максимума функции.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Ox (нули функции):

Приравняем $y$ к нулю: $-x^2 + 2x = 0$

Вынесем $-x$ за скобки: $-x(x - 2) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Пересечение с осью Oy:

Подставим $x=0$ в уравнение функции: $y = -(0)^2 + 2 \cdot 0 = 0$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.

4. Построение графика.

Используя вершину $(1, 1)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(2, 0)$, и учитывая, что ветви направлены вниз, мы можем построить параболу. Для большей точности можно найти еще пару симметричных точек, например, при $x = -1$ и $x = 3$:

При $x = -1$: $y = -(-1)^2 + 2(-1) = -1 - 2 = -3$. Точка $(-1, -3)$.

При $x = 3$: $y = -(3)^2 + 2(3) = -9 + 6 = -3$. Точка $(3, -3)$.

График функции выглядит следующим образом: это парабола с вершиной в точке (1, 1), проходящая через точки (0, 0) и (2, 0), с ветвями, направленными вниз.

Теперь ответим на вопросы задачи, используя полученный график и вычисления.

а) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения:

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда ее график находится выше оси Ox. Из анализа точек пересечения $(0, 0)$ и $(2, 0)$ и того, что ветви параболы направлены вниз, следует, что функция положительна между корнями.

Решим неравенство: $-x^2 + 2x > 0$

$x^2 - 2x < 0$

$x(x - 2) < 0$

Это неравенство выполняется, когда $x$ находится в интервале $(0, 2)$.

Ответ: $x \in (0, 2)$.

б) промежуток, на котором функция возрастает:

Поскольку парабола имеет ветви, направленные вниз, функция возрастает на промежутке до своей вершины и убывает после нее. Координата x вершины параболы $x_в = 1$.

Следовательно, функция возрастает на промежутке от $-\infty$ до $x=1$.

Ответ: $(-\infty, 1]$.