Номер 3.126, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.126. Постройте график квадратичной функции $y = \frac{1}{2}x^2 - x - 4$ и назовите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) наименьшее значение функции;

г) уравнение оси симметрии параболы;

д) нули функции;

е) промежутки знакопостоянства функции;

ж) промежутки монотонности функции.

Для построения графика и анализа квадратичной функции $y = \frac{1}{2}x^2 - x - 4$ выполним следующие шаги.

Графиком данной функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = \frac{1}{2} > 0$), ветви параболы направлены вверх.

1. Нахождение вершины параболы.

Координаты вершины $(x_в, y_в)$ вычисляются по формулам:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1$

$y_в = \frac{1}{2}(1)^2 - 1 - 4 = \frac{1}{2} - 5 = -4,5 = -\frac{9}{2}$

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1; -\frac{9}{2})$.

2. Нахождение точек пересечения с осями координат.

• Пересечение с осью ординат (Oy):
  При $x=0$, $y = \frac{1}{2}(0)^2 - 0 - 4 = -4$.
  Точка пересечения: $(0, -4)$.
• Пересечение с осью абсцисс (Ox), или нули функции:
  При $y=0$, получаем уравнение $\frac{1}{2}x^2 - x - 4 = 0$.
  Умножим обе части уравнения на 2: $x^2 - 2x - 8 = 0$.
  Решим квадратное уравнение через дискриминант:
  $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
  $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$.
  $x_1 = \frac{2 - 6}{2} = -2$.
  $x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4$.
  Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

3. Построение графика.

Для построения графика отметим на координатной плоскости вершину $(1, -4.5)$, точки пересечения с осями $(-2, 0)$, $(4, 0)$ и $(0, -4)$. Также отметим точку, симметричную точке $(0, -4)$ относительно оси симметрии $x=1$, это точка $(2, -4)$. Соединим эти точки плавной кривой, чтобы получить график параболы.

На основе полученных данных ответим на поставленные вопросы.

а) область определения функции; Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция является многочленом и определена для любых действительных значений $x$.

б) множество значений функции; Ответ: Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине. Множество значений функции: $[-\frac{9}{2}; +\infty)$, или $[-\mathbf{4}\frac{1}{2}; +\infty)$.

в) наименьшее значение функции; Ответ: Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы и равно $y_{min} = -\frac{9}{2} = -\mathbf{4}\frac{1}{2}$.

г) уравнение оси симметрии параболы; Ответ: Ось симметрии проходит через вершину параболы параллельно оси Oy. Её уравнение: $x=1$.

д) нули функции; Ответ: Нули функции – это значения $x$, при которых $y=0$. Мы их нашли ранее: $x_1 = -2, x_2 = 4$.

е) промежутки знакопостоянства функции; Ответ:

• Функция положительна ($y>0$) при $x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)$.
• Функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (-2; 4)$.

ж) промежутки монотонности функции. Ответ:

• Функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$.
• Функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.