Номер 3.119, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.119. Из данных квадратичных функций выберите все функции, которые убывают на промежутке $[-1; +\infty)$:

а) $y = (x - 1)^2 - 2$;

б) $y = -(x + 1)^2 + 3$;

в) $y = -x^2 + 1$;

г) $y = -x^2 - 2x - 6$.

Приведите пример квадратичной функции, которая возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$.

Для определения промежутков возрастания и убывания квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ необходимо найти абсциссу вершины параболы $x_v$ и определить направление ее ветвей по знаку коэффициента $a$.

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает на промежутке $(-\infty; x_v]$ и возрастает на промежутке $[x_v; +\infty)$.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; x_v]$ и убывает на промежутке $[x_v; +\infty)$.

Абсциссу вершины $x_v$ можно найти по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$ для функции вида $y = ax^2 + bx + c$, или определить как $h$ для функции вида $y = a(x - h)^2 + k$.

Проанализируем каждую из предложенных функций на предмет убывания на промежутке $[-1; +\infty)$.

а) $y = (x - 1)^2 - 2$
Функция задана в виде $y = a(x - h)^2 + k$. Здесь коэффициент $a = 1$ и абсцисса вершины $x_v = h = 1$.
Поскольку $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает до вершины и возрастает после нее.
Промежуток убывания: $(-\infty; 1]$.
Промежуток возрастания: $[1; +\infty)$.
На заданном промежутке $[-1; +\infty)$ функция сначала убывает (на отрезке $[-1; 1]$), а затем возрастает (на промежутке $[1; +\infty)$). Следовательно, она не является убывающей на всем этом промежутке.
Ответ: не подходит.

б) $y = -(x + 1)^2 + 3$
Функция задана в виде $y = a(x - h)^2 + k$. Здесь $a = -1$ и абсцисса вершины $x_v = h = -1$.
Поскольку $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает до вершины и убывает после нее.
Промежуток возрастания: $(-\infty; -1]$.
Промежуток убывания: $[-1; +\infty)$.
Это в точности совпадает с заданным в условии промежутком.
Ответ: подходит.

в) $y = -x^2 + 1$
Это функция вида $y = ax^2 + bx + c$. Здесь $a = -1$, $b = 0$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
Поскольку $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Промежуток возрастания: $(-\infty; 0]$.
Промежуток убывания: $[0; +\infty)$.
На заданном промежутке $[-1; +\infty)$ функция сначала возрастает (на отрезке $[-1; 0]$), а затем убывает (на промежутке $[0; +\infty)$). Следовательно, она не является убывающей на всем этом промежутке.
Ответ: не подходит.

г) $y = -x^2 - 2x - 6$
Это функция вида $y = ax^2 + bx + c$. Здесь $a = -1$, $b = -2$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$.
Поскольку $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Промежуток возрастания: $(-\infty; -1]$.
Промежуток убывания: $[-1; +\infty)$.
Это в точности совпадает с заданным в условии промежутком.
Ответ: подходит.

Таким образом, из данных функций на промежутке $[-1; +\infty)$ убывают функции б) и г).

Приведите пример квадратичной функции, которая возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$.
Чтобы квадратичная функция возрастала на промежутке, ведущем к вершине, ветви ее параболы должны быть направлены вниз. Это означает, что коэффициент $a$ должен быть отрицательным ($a < 0$).
Конечная точка промежутка возрастания является абсциссой вершины. Значит, $x_v = 1$.
Составим функцию, удовлетворяющую этим двум условиям. Возьмем, к примеру, $a = -1$. Тогда функция в вершинной форме будет выглядеть как $y = -(x - 1)^2 + k$. Ордината вершины $k$ может быть любым числом, например, $k = 0$.
Ответ: $y = -(x - 1)^2$.